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《数学聊斋》读者包括高等院校师生、中学师生和数学研究人员。

内容简介

《数学聊斋》对算术、几何和图论当中的上百个十分重要、十分动人的问题进行趣味盎然的另类解答，例如2 + 2为什么等于4、韩信点兵多多益善、清点太阳神的牛群、无字数学论文、蜂巢颂、雪花几何、三角形内角和究竟多少度、图是什么、乱点鸳鸯谱、贪官聚餐、颜色多项式、妖怪的色数、多心夫妻渡河、计算机的心腹之患、同生共死NPC等。《数学聊斋》集趣味性、

目　　录

目录
编者的话
第一版总序
前言
01 算术篇1
1.1 从2+2=4谈起1
1.2 算术的基因和基理3
1.3 整数见闻7
1.4 张丘建百钱买百鸡11
1.5 清点太阳神的牛群13
1.6 数学之神阿基米德15
1.7 草地与母牛的牛顿公式17
1.8 除法中的余数不可小看19
1.9 韩信点兵，多多益善22

目录 
编者的话 
第一版总序 
前言 
01 算术篇1 
1.1 从2+2=4谈起1 
1.2 算术的基因和基理3 
1.3 整数见闻7 
1.4 张丘建百钱买百鸡11 
1.5 清点太阳神的牛群13 
1.6 数学之神阿基米德15 
1.7 草地与母牛的牛顿公式17 
1.8 除法中的余数不可小看19 
1.9 韩信点兵，多多益善22 
1.10 素数的故事25 
1.11 生产全体素数30 
1.12 算术小魔术32 
1.13 自然数三角阵揭秘35 
1.14 一种加法密码38 
02 几何篇42 
2.1 无字数学论文42 
2.2 蜂巢颂48 
2.3 蝴蝶定理51 
2.4 拿破仑三角形52 
2.5 高斯墓碑上的正17边形55 
2.6 椭圆规和卡丹旋轮58 
2.7 阿尔哈达姆桌球60 
2.8 费尔巴哈九点圆63 
2.9 倍立方问题的丝线解法64 
2.10 现代数学方法的鼻祖笛卡儿66 
2.11 三等分角的阿基米德纸条67 
2.12 化圆为方的绝招69 
2.13 逆风行舟72 
2.14 天上人间怎么这么多的圆和球74 
2.15 平面几何定理为什么可以机器证明76 
2.16 勾三股四弦五精品展81 
2.17 雪花几何85 
2.18 最优观点与最大视角88 
2.19 切分蛋糕89 
2.20 人类首席数学家91 
2.21 《几何原本》内容提要与点评93 
2.22 黄金矩形系列96 
2.23 捆绑立方体98 
2.24 立方装箱与正方装箱问题100 
2.25 巧测砖块对角线102 
2.26 糕点售货员的打包技术102 
2.27 三角形的内角和究竟多少度104 
2.28 罗巴切夫斯基的想像几何学108 
2.29 伟大的数学革新派罗巴切夫斯基114 
2.30 细胞几何学116 
2.31 蚂蚁的最佳行迹118 
03 图论篇122 
3.1 美丽图论122 
3.2 人们跑断腿，不如欧拉一张图123 
3.3 数学界的莎士比亚125 
3.4 图是什么126 
3.5 两个令人失望的猜想128 
3.6 握手言欢话奇偶129 
3.7 馋嘴老鼠哪里藏130 
3.8 一辆车跑遍村村寨寨131 
3.9 没有奇圈雌雄图132 
3.10 树的数学134 
3.11 一共生成几棵树136 
3.12 生成一棵最好的树137 
3.13 树上密码138 
3.14 追捕逃犯140 
3.15 乱点鸳鸯谱142 
3.16 错装了信笺143 
3.17 瓶颈理论和婚配定理144 
3.18 中国邮路148 
3.19 周游世界153 
3.20 贪官聚餐155 
3.21 正20面体上的剪纸艺术157 
3.22 国际象棋马的遍历158 
3.23 又是贪官聚餐160 
3.24 天敌纵队和王161 
3.25 图能摆平吗163 
3.26 多面体黄金公式164 
3.27 正多面体为何仅五种165 
3.28 非平面图的两个疙瘩167 
3.29 彩色图，不仅为了美169 
3.30 五色定理和肯普绝招儿171 
3.31 颜色多项式172 
3.32 八皇后和五皇后问题174 
3.33 近代最伟大的数学家176 
3.34 妖怪的边色数178 
3.35 亲疏恩怨，世态炎凉180 
3.36 同色三角形181 
3.37 拉姆赛数引发的数学劫难183 
3.38 多心夫妻渡河186 
3.39 巧布骨牌阵188 
3.40 孙膑巧计戏齐王190 
3.41 图上谎言191 
3.42 走投无路之赌194 
3.43 图上智斗195 
3.44 平分苹果有多难197 
3.45 周游世界谈何易198 
3.46 梵塔探宝黄粱梦199 
3.47 软件要过硬200 
3.48 选购宝石与满足问题201 
3.49 计算机数学的心腹之患202 
3.50 同生共死NPC203 
3.51 NPC题谱205 
卷末寄语209 
参考文献211

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在线试读部分章节

01 算术篇
万物皆数，若没有数，则既不能描述也不能理解任何事物。
-毕达哥拉斯（Pythagoras，希腊数学家，公元前580—前500)
1.1 从2 + 2 = 4谈起
一位聪明天真的小朋友问妈妈：“为什么2加2等于4?”妈妈答: “傻孩子，连这么简单的算术都不懂!”于是这位母亲伸出左手的两个指头，又伸出右手的两个指头，左右的两个指头往一起一并，说：“这就叫2加2，你数一数，看是不是4?”孩子勉强点头，接着又问：“可是4 是什么玩意儿呢?”妈妈欲言而无语。是呀，如果母亲说这些指头的数目就叫做4，孩子再追问什么叫做999999999，那可就不好用指头之类的东西来比划着解释了！
事实上，反思我们小时候对加法的学习，确实是非理性的，完全是老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了的七加八一十五，七加五一十二之类的指令而已；认真思考起来，究竟每个自然数是如何定义的，加法是什么，为什么2 + 2 = 4，4 + 4 = 8，等等，确实是一个严肃的数学问题。
原始人已有自然数的初始概念，他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数（或用“结绳记事”法）。有人捕来一只野兔，他们就在小坑里放上一颗石子，又有人捕来一只野兔，他们就在小坑中又投放一颗石子，等等。事实上，这逐一地向小坑中投石子的过程恰是加法运算的真谛，投一颗石子就叫做加上1，1加1得到的数量就叫做2，2再加1得到的数量就叫做3，等等。再后来，人们发现了加法的结合律，即1 + 1 + 1 + 1= (1+1) + (1 + 1)，等等。公元6世纪，印度数学家引人零的符号“0”，它是自然数的“排头”。到了 19世纪，皮亚诺(G.Peano， 1858!1932)提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然数，为什么2 + 2 = 4等数学上的这些基本问题，他的三个概念与五个公理是：
0，后继和自然数，以及如下五条公理：
公理1，0是自然数。
公理2任何自然数的后继是自然数。
公理3 0不是任何数的后继。
公理4不同的自然数后继不同。
公理5对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。

01 算术篇 
万物皆数，若没有数，则既不能描述也不能理解任何事物。 
-毕达哥拉斯（Pythagoras，希腊数学家，公元前580—前500) 
1.1 从2 + 2 = 4谈起 
一位聪明天真的小朋友问妈妈：“为什么2加2等于4?”妈妈答: “傻孩子，连这么简单的算术都不懂!”于是这位母亲伸出左手的两个指 头，又伸出右手的两个指头，左右的两个指头往一起一并，说：“这就 叫2加2，你数一数，看是不是4?”孩子勉强点头，接着又问：“可是4 是什么玩意儿呢?”妈妈欲言而无语。是呀，如果母亲说这些指头的数 目就叫做4，孩子再追问什么叫做999999999，那可就不好用指头之类 的东西来比划着解释了！ 
事实上，反思我们小时候对加法的学习，确实是非理性的，完全是 老师和家长向我们的脑子里灌进去而记住了的七加八一十五，七加五一 十二之类的指令而已；认真思考起来，究竟每个自然数是如何定义的， 加法是什么，为什么2 + 2 = 4，4 + 4 = 8，等等，确实是一个严肃的数学问题。 
原始人已有自然数的初始概念，他们用小石头来记录捕捉的猎物的个数（或用“结绳记事”法）。有人捕来一只野兔，他们就在小坑里放 上一颗石子，又有人捕来一只野兔，他们就在小坑中又投放一颗石子， 等等。事实上，这逐一地向小坑中投石子的过程恰是加法运算的真谛， 投一颗石子就叫做加上1，1加1得到的数量就叫做2，2再加1得到的 数量就叫做3，等等。再后来，人们发现了加法的结合律，即1 + 1 + 1 + 1= (1+1) + (1 + 1)，等等。公元6世纪，印度数学家引人零的符 号“0”，它是自然数的“排头”。到了 19世纪，皮亚诺(G.Peano， 1858!1932)提出了五条算术公理，才从理论上彻底解决了什么是自然 数，为什么2 + 2 = 4等数学上的这些基本问题，他的三个概念与五个公 理是： 
0，后继和自然数，以及如下五条公理： 
公理1，0是自然数。 
公理2任何自然数的后继是自然数。 
公理3 0不是任何数的后继。 
公理4不同的自然数后继不同。 
公理5对于某一性质，若0有此性质，而且若某自然数有此性质 时，它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。 
具体地说，0的后继中国人叫做一，美国人叫做one，1的后继中 国人叫做二，美国人叫做two，等等。第五公理谈的是数学归纳法。一 个自然数生出它的后继的过程是加法，记成0 + 1 = 1，1 + 1 = 2，2 + 1 = 3，3 + 1 = 4，n+1= (n+1)，等等。 
由皮先生的公理可以明确无误地回答什么是自然数的问题，例如4 是什么？答：4是3的后继，或曰4是3之“子” 3呢？ 3是2的后继（2呢？ 2是1的后继（1呢？ 1是0的后继（0呢？ 0是祖宗，它不是谁 的后继，是自然数的发源点。 
2+2 = 4证明如下： 
因为1 + 1 = 2，所以2+2= (1 + 1) + (1 + 1)，由结合律得 2+2= (1+1 ) + (1+1 ) = (1+1+1 ) +1 又因 1 + 1 + 1= (1 + 1) +1 = 2 + 1 = 3 所以2+2 = 3 + 1，而3 + 1 = 4，故知2 + 2 = 4是正确的。 
证毕。 
有了加法的概念，减法是加法的逆运算，乘法则是几个相同的数连 加的“简写”，除法是乘法的逆运算。可见，从皮氏公理出发已经把+ 一X +的概念弄了个水落石出，不再是那种原始的直观感觉（例如结绳 记事）或死记的九九表了。 
查阅《现代汉语词典》上加法词目，词典称！ “加法（i@D，数学中的一种运算方法%两个或两个以上的数合成一个数的方法'”这种解 释实在科学’例如它只说“合成一个数”，并不说这个数（我们称其为 和）是多少。事实上，现代数学对于1 + 1的和未必总是算出2来的。遥 想原始人怎样形成数量的概念，最初只是“有”与“无”两个概念，他 们尚没有“多少”的概念和斤斤计较的坏习气。就是现代，有时也只需 考虑有与无，是与否，而不必细说有多少，例如我们要写字，关心的是 有笔还是没有笔，至于有笔时有几枝，那都是一回事。如果这时规定0 代表无（或否），1代表有（或是），则应有0 + 0 = 0，0+1 = 1，1 + 0 = 1，1+1=1。这个1+1=1的算式有点不习惯，但对于此处的实际背 景，如此定义加法是再合适不过了。这种1 + 1不等于2，而等于1的加 法称为“逻辑和”，1 + 1 = 1，于是（n是自然数）。 
再看某种电视机开关，你用指头捅一下，它就为你播放节目，再捅 一下，它就关机了，如果把关机状态记成0，把播放状态记成1，则有 加法法则！ 
0+0=0 ，1+0=1 0+1=1 ，1+1=0 
这种加法1 + 1≠2，1 + 1≠1，而是1 + 1 = 0。看见没有，这就是数字之 妙，这种“数学志异”胜似《聊斋志异》！ 
1.2算术的基因和基理 
算术四则运算，人人都有体会，那就是加减法简单，乘法也不太 难，有个“九九歌”，背熟了去乘就是了。除法里“事儿”多，除得尽 还好，除不尽还要考虑约分与余数，等等，花样不少。例如：100 + 4可 写成 
我们看到，除法实质上是分子分母的约分，等到把分子分母的公共因子 都约光了，剩下的就是既约分数，如果这时分母为1，就除尽了。分子 上的因子有两个2，两个5，这两个因子不能再变小，当然4和25，或 20，也是100的因子，但它们还可以变小，那些不能再变小的因子，即除了1与自身外，别的自然数除不尽的自然数，是最简单朴素的了，我 们称这种数为素数（朴素的素）或质数（质t卜的质），1也是这类性质 的数，但大家约定1不称为素数，因为如果让1取得素数资格，例如 100则可以写成100 = 1X1X1X1X1X X1X2X2X5X5，前方爱写 几个1就写几个1，这就很不妙，一个自然数写成素数之积的形式时， 形状就不唯一了。经验表明，如果不让1参加，一个自然数若不是素 数，例如100，4什么的，可以唯一地写成若干素数的积，这一结论可 以用数学归纳法证明，这就是著名的算术基本定理。 
大于1的不是素数的自然数称为合数，即由若干素数相乘而成 的数。 
素数是合数的基因，任给大于1的自然数N，存在唯一的素数列P1≤P2≤ ≤Pn，使得N唯一地写成N = P1P2 Pn，此定理称为算术 基本定理，算术中很多证明，尤其是涉及除法时，主要靠这条结论去 说理。 
如果N是合数，则N=P1a1 P2a2 pmam，m≥1，P1，P2， ，Pm 是互异素数，a1， ，am是正整数，其中P1<P2< ＜Pm，则显然 P1< N。据此，我们可以用下面的所谓“筛法”筛出不超过N的一 切素数。这种筛法是希腊的埃拉托色尼（Eratosthenes)发明的，以 N=30为例，说明筛法的操作如下： 
由于不超过N的合数的最小素因子不超过槡N，因此欲求不超过 N的一切素数，只需把1，2， ，N中不超过槡N的素数的倍数划去 (筛除），剩下的就是素数。 
30<6，所以只考虑划去2，3，5的倍数，剩的是不超过30的那些素 数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29。 
显然，这种方法只能写出不超过N的自然数中素数的清单，N后 面的自然数中还有不少素数，例如30之后的31就是。欧几里得第一个 证明，素数的个数是无穷的。 
事实上，若所有素数为P1，P2， ，Pk，取N =P1P2 Pk + 1，N>1，设N本身是素数，N能除P1P2 Pk + 1 (商为1)，又P1，P2， ，Pk 是所有素数，则N是某个Pi，i∈ {1，2， ，k}，于是N 能除尽P1P2 pk，P1P2 pk+ 1被N除余1，与P1P2 pk+1矛盾。若N是合数，则N有一个素数因子P，于是P =Pi，i∈{1，2， ，k}，P能除尽P1P2 pk，不能除尽P1P2 pk+1，即P不能除 尽N，与P是N之因子矛盾，可见全体素数不是有限个。 
素数既然是算术中的基因，几乎所有的算术命题当中，都有素数参 与其中，有关素数的命题集中了算术学科的难点。广为人知的难题很 多，例如下面两个就是算术中难题的代表。 
(1)关于孪生素数的黎曼猜想：孪生素数有无穷个 
所谓孪生素数，即相差为2的一对素数，例如（3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，等等。 
至今无人能证明或反驳这一猜想。 
(2)哥德巴赫猜想 
1742年6月7日，圣彼得堡中学教师，德国人哥德巴赫（Gold-bach)给瑞士数学家欧拉写信提出如下猜想： 
每个大于或等于6的偶数都是两个素数之和；每个大于或等于9的 数都是 个 数之 。 
两素数之和当然是偶数，但是事情让哥德巴赫反过来一提，可就给 数学界惹来了天大的麻烦。欧拉给哥德巴赫的回函中说：“我不能证明 它，但是我相信这是一条正确的定理。”欧拉无能为力的问题，别人怕 是很难解决了。在其后的150多年当中，多少专业的和业余的数论工作 者，都兴趣盎然地冲击这一看似真实的命题，无奈人人不得正果。1900 年，数学界的领袖人物希尔伯特（Hilbert)在巴黎召开的世界数学家 大会上向20世纪的数学家提出23个待解决的名题，其中哥德巴赫猜想 列为第八问题。可惜20世纪的百年奋斗仍然辜负了希尔伯特的期望。 
奉劝阅历尚浅、热情十足的年轻朋友，不可受某些不懂数学的记者 们的误导，随便立志以攻克哥德巴赫猜想为己任，而应当从实际出发， 打好坚实的数学理论基础，培养数学研究的能力，再来考虑攀登哪个高 峰的问题。 
这里面对的是一个数学问题，不能沿用物理学家诉诸反复若干次实验来证实的办法，例如有人对不超过33X106的偶数逐一验证，哥德巴 赫猜想都是成立的，但那仍然不能解决问题。 
下面是近百年来关于哥德巴赫猜想的大事记。 
1912年，数学家朗道提出相近的弱猜想： 
存在一个自然数M，使得每个不小于2的自然数皆可表成不超过 M个素数之和。 
此猜想于1930年证明为真；如果M<3就好多了。 
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了哥德巴赫猜想的后半句 为真，即大于或等于9的奇数是三个素数之和，这是关于哥德巴赫问题 的重大突破，引起了不小的轰动。但前半句至2000年基本上未被解决。 
我们约定：命题“大于等于6的偶数可表示成a个素数之积加上p 个素数之积”记成（a+戽，则哥德巴赫问题是：证明或反驳（1 + 1)。 
1920年，朗道证明了（9 + 9)。 
1924年，拉德马哈尔证明了（7 + 7)。 
1932年，依斯特曼证明了（6 + 6)。 
1938年，布赫塔布证明了（5 + 5)。 
1938年，华罗庚证明了几乎所有的偶数都成立（1 + 1)。 
1940年，布赫塔布等证明了（4 + 4)。 
1947年，雷尼证明了（1+?)。 
1955年，王元证明了（3 + 4)。 
1957年，小维诺格拉多夫证明了（3 + 3)。 
1957年，王元证明了（2 + 3)。 
1962年，潘承洞证明了（1 + 5)。 
1962年，潘承洞、王元证明了（1 + 4)。 
1965年，布赫塔布、小维诺格拉多夫、邦比尼证明了（1 + 3)。 
1966年，陈景润证明了（1 + 2)，于1973年发表。 
尽管（1+2)离（1 + 1)只“一步之遥”，但一步登天的事谈何容 易！从陈景润搞出（1 + 2)至今已有30多年，一直没有人在这个阵地 上前进半步，我国的陈景润仍然是此项世界纪录的保持者。 
培养出如陈景润这样杰出的数学家，不但具有广深扎实的数学素 质，而且具有全身心奉献科学事业的品质，乃是我们教育工作者的一项

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