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《水动力及水环境模拟方法与应用》针对自然水体的水动力与水环境特征，围绕岸边污染混合区、大型水库水温分层、湖泊水库的富营养化、过坝水流的溶解气体超饱和、复杂河网的物质传输等水环境问题，模拟了水流动力条件的变化规律；在此基础上，分析了相关的物理输移和生化反应过程，建立了水环境模拟的数学模型，预测了水温、营养盐、叶绿素、溶解氧等重要环境要素的时空变化，探究了它们在不同条件下的发展趋势。
《水动力及水环境模拟方法与应用》基础理论严谨，模拟方法高效，并在三峡水库、太湖、洞庭湖、三亚河等重要水域得到广泛应用，可作为水动力学和水环境领域的研究生、研究人员和工程技术人员的参考书。

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目　　录

《水科学前沿丛书》出版说明
序
前言
第1章绪论
1.1 自然水体环境及数值模拟
1.2 自然水体的流动特点及环境特征
1.2.1 河流的流动特点及环境特征
1.2.2 湖泊的流动特点及环境特征
1.2.3 水库的流动特点及环境特征
1.3 基本控制方程和常用数值方法
1.3.1 水流及物质输移扩散的基本方程
1.3.2 常用数值离散方法
参考文献
第2章岸边污染混合区及环境容量

《水科学前沿丛书》出版说明 序 前言 第1章 绪论 1.1 自然水体环境及数值模拟 1.2 自然水体的流动特点及环境特征 1.2.1 河流的流动特点及环境特征 1.2.2 湖泊的流动特点及环境特征 1.2.3 水库的流动特点及环境特征 1.3 基本控制方程和常用数值方法 1.3.1 水流及物质输移扩散的基本方程 1.3.2 常用数值离散方法 参考文献 第2章 岸边污染混合区及环境容量 2.1 岸边排污的基本概念 2.2 污染混合区预测模型 2.2.1 深度平均二维模型 2.2.2 斜分层三维模型 2.3 三峡水库岸边污染混合区的模拟预测 2.3.1 涪陵磷肥厂污水排放模拟预测 2.3.2 万州江段污水排放模拟预测 2.4 三峡水库岸边水环境容量计算 2.4.1 主要排污口的允许排污负荷的计算 2.4.2 三峡水库排污口的适宜布局 2.4.3 岸边水环境容量及变化分析 参考文献 第3章 大型水库的水温模拟 3.1 水库水温分层和常用判据 3.1.1 水体分层现象 3.1.2 水库分层类型及判据 3.1.3 温度分层对水体运动的影响 3.2 水库水温模型 3.2.1 垂向一维水温模型 3.2.2 三维水温模型 3.2.3 水面热交换 3.3 密云水库的水温模拟 3.3.1 参数的率定和模型选择 3.3.2 1998~2007年水温的变化 3.3.3 气候变化对水温分布的影响 3.4 三峡水库水温模拟分析 3.4.1 水库气象条件及特征分析 3.4.2 实测水温资料分析 3.4.3 蓄水前后水温数值模拟 参考文献 第4章 水体富营养化的动力过程 4.1 水体富营养化及其判别方法 4.1.1 富营养化的危害 4.1.2 水体富营养化的形成机理 4.1.3 富营养化的判别方法 4.2 藻类生长的生态动力学模型 4.2.1 控制方程 4.2.2 模型的生态流程结构 4.2.3 模型的生化反应项方程 4.3 太湖水体富营养化的模拟与分析 4.3.1 太湖的水环境特征 4.3.2 五里湖的模拟与分析 4.3.3 太湖的模拟与分析 4.3.4 太湖富营养化进程的空间变化 4.4 小江开县段水体富营养化的预测分析 4.4.1 富营养化初步分析及模拟工况设计 4.4.2 富营养化模拟结果及分析 4.4.3 小江开县段水体富营养化的防治建议 参考文献 第5章 闸坝泄流的溶解气体超饱和 5.1 泄流水体溶解气体超饱和现象的机理分析 5.1.1 掺气水流及气体传输 5.1.2 溶解气体超饱和的发生机理 5.1.3 坝下水体溶解气体含量的影响因素 5.2 泄流水体的溶解气体预测模型 5.2.1 水流模拟的VOF模型 5.2.2 溶解气体传输模型 5.3 三峡大坝下游溶解气体超饱和模拟与分析 5.3.1 近坝水域溶解氧变化特性分析 5.3.2 大坝下游溶解氧主要影响因素分析 5.3.3 三峡工程深孔掺气水流模拟 5.3.4 溶解氧饱和度的模拟 参考文献 第6章 河网地区水动力与水环境模拟 6.1 河网水动力与水环境模拟概述 6.2 河网一维水动力模型 6.2.1 河网水动力控制方程组及数值离散 6.2.2 汊点水动力连接条件处理 6.2.3 河网中结构物的处理 6.2.4 离散方程组的集成与求解 6.2.5 河网水动力模型的验证 6.3 复杂河网一维水质模型 6.4 三亚河水环境容量计算 6.4.1 三亚河概况 6.4.2 三亚河网水流-水质模型验证 6.4.3 三亚河水环境容量分析及水质预测 6.5 洞庭湖区河湖系统水动力模拟 6.5.1 洞庭湖区概况 6.5.2 洞庭湖区水深平均二维水动力模型 6.5.3 一维和二维水动力模型的连接 6.5.4 洞庭湖河湖系统水动力模型验证 6.5.5 洞庭湖区枯水期水动力特征 参考文献 附录 虚拟调蓄面积的推导过程

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第1 章绪论
水是生命之源、生产之要、生态之基。江河湖库等自然水体不仅给予了人类赖以生存的水源和食物，而且提供了人类发展所必需的物资和能源，具有公认的社会、经济、生态、科研等方面的突出价值。然而，开放式的自然水体也容易受到人类活动的干扰，影响其正常的使用功能和服务效果，逐渐成为当前环境治理和环境保护的重要对象。自然界中的水体受到重力、风应力、热动力等的作用，不断流动和循环，直接影响物质的输移和生态的变迁，是决定水体内在价值和使用功能的重要特征之一。以计算机高速发展为依托的数值模拟，是当前研究自然水体水动力过程和水环境特征的重要手段，可为敏感水域水环境的治理和保护提供技术支撑。
1.1 自然水体环境及数值模拟
自然水体环境是指江河湖库等自然界中普遍存在的、人类和其他生物赖以生存和发展的水条件，它由不同组分和不同子系统组成，各组分和子系统相互作用构成了一定的网络系统（韩守江等， 2000）。水是水环境系统的核心要素，它通过蒸发、降水、渗透及径流不断地进行循环，构成了水环境的基本运动方式；另外，水中还含有各种各样的化学物质，这些物质除随水循环进行迁移转化外，还发生酸碱中和、氧化还原、分解化合等化学反应，以及光合作用、呼吸作用、生长死亡、吸收降解等生物反应。水环境的这些物理、化学、生物运动既遵循固有的变化规律，又存在不确定的变异性，当受到水资源的过度开发、修建水利工程、污水废水排放等人类活动的高强度干扰时，这种变异的可能性将明显增强，从而引起所谓的水环境问题。
当前，人类活动所引发的水环境问题大致可以分为两类：一类是污水废水的排入所导致的水质恶化问题；另一类是大型水利工程的建设所导致的重要生态要素的巨幅波动问题。随着社会的发展，人口的增长，生产规模的扩大，人类产生的废弃物越来越多。
这些物质随着排污管道或地表径流进入自然水体，改变水体的表观，消耗水体内部的溶解氧，甚至产生异味，水生动植物生存环境逐渐退化，严重影响水体的生态系统和使用价值。在自然水体，特别是河流上修建大型水利工程，将极大地改变水体的流动状态，影响物质、能量的输移速率，导致水生动植物生存条件的巨大变动。在河流上拦河筑坝后，坝后形成体积庞大的水库，水位上升，流速减缓，水体对污染物的净化能力下降；水面的风应力和热动力上升为水流的主要驱动力，容易出现水温分层现象，下泄水温显著降低，影响鱼类的生存。在许多情况下，大型水利工程的出现也会加速水质的恶化：水库，特别是支流水库的营养盐浓度过高，较蓄水前的河流更容易出现富营养化现象。

第1 章 绪论
 水是生命之源、生产之要、生态之基。江河湖库等自然水体不仅给予了人类赖以生存的水源和食物， 而且提供了人类发展所必需的物资和能源， 具有公认的社会、经济、生态、科研等方面的突出价值。然而， 开放式的自然水体也容易受到人类活动的干扰，影响其正常的使用功能和服务效果， 逐渐成为当前环境治理和环境保护的重要对象。自然界中的水体受到重力、风应力、热动力等的作用， 不断流动和循环， 直接影响物质的输移和生态的变迁， 是决定水体内在价值和使用功能的重要特征之一。以计算机高速发展为依托的数值模拟， 是当前研究自然水体水动力过程和水环境特征的重要手段， 可为敏感水域水环境的治理和保护提供技术支撑。
 1.1 自然水体环境及数值模拟
 自然水体环境是指江河湖库等自然界中普遍存在的、人类和其他生物赖以生存和发展的水条件， 它由不同组分和不同子系统组成， 各组分和子系统相互作用构成了一定的网络系统（韩守江等， 2000） 。水是水环境系统的核心要素， 它通过蒸发、降水、渗透及径流不断地进行循环， 构成了水环境的基本运动方式； 另外， 水中还含有各种各样的化学物质， 这些物质除随水循环进行迁移转化外， 还发生酸碱中和、氧化还原、分解化合等化学反应， 以及光合作用、呼吸作用、生长死亡、吸收降解等生物反应。水环境的这些物理、化学、生物运动既遵循固有的变化规律， 又存在不确定的变异性， 当受到水资源的过度开发、修建水利工程、污水废水排放等人类活动的高强度干扰时， 这种变异的可能性将明显增强， 从而引起所谓的水环境问题。
 当前， 人类活动所引发的水环境问题大致可以分为两类： 一类是污水废水的排入所导致的水质恶化问题； 另一类是大型水利工程的建设所导致的重要生态要素的巨幅波动问题。随着社会的发展， 人口的增长， 生产规模的扩大， 人类产生的废弃物越来越多。
 这些物质随着排污管道或地表径流进入自然水体， 改变水体的表观， 消耗水体内部的溶解氧， 甚至产生异味， 水生动植物生存环境逐渐退化， 严重影响水体的生态系统和使用价值。在自然水体， 特别是河流上修建大型水利工程， 将极大地改变水体的流动状态，影响物质、能量的输移速率， 导致水生动植物生存条件的巨大变动。在河流上拦河筑坝后， 坝后形成体积庞大的水库， 水位上升， 流速减缓， 水体对污染物的净化能力下降；水面的风应力和热动力上升为水流的主要驱动力， 容易出现水温分层现象， 下泄水温显著降低， 影响鱼类的生存。在许多情况下， 大型水利工程的出现也会加速水质的恶化：水库， 特别是支流水库的营养盐浓度过高， 较蓄水前的河流更容易出现富营养化现象。
 一般来说， 自然水体的水流现象较为复杂， 而所伴随的水环境问题也变化多样， 数值模拟是定量研究该类问题的重要方法之一。水动力及水环境的数值模拟根据水力学和流体力学的基本原理以及污染物迁移转化规律， 建立数学模型， 以数值方法和计算机技术为手段， 并在一定的边界条件和初始条件作用下， 对水环境系统中的水流运动和污染物变化进行数值分析， 研究水环境变化趋势， 为污染防治、规划管理以及水环境保护提供理论依据（汪家权、钱家忠， 2006） 。水环境的数学模型不是对现有系统的简单模拟，而是对水环境系统的所有的信息进行提炼、分析后得到的结果， 因而能够较准确地表达水环境的内在特征， 从而为合理进行数值模拟奠定基础。水环境数值模拟以电子计算机为建模工具， 借助电子计算机高速的计算能力和卓越的信息存储能力， 可以非常逼真地复演水环境系统中错综复杂的组分及其相互关系。随着计算机和数值计算技术的快速发展， 水环境数值模拟逐渐发展成为研究水环境这样复杂系统的重要手段， 并得到了越来越广泛地应用。
 水环境数值模拟具有方便快捷、省时高效、无比例影响、可重复性强等特点， 适合复杂水环境问题的分析和预测。首先， 水环境数值模型具有较强的通用性， 同一模型可以应用于多个不同的实际问题， 和物理模型与原型观测所需耗费的巨大人力物力相比，具有方便高效的特点； 随着计算机升级换代和计算机技术的发展， 计算速度越来越快，存储能力越来越强， 数值分析速度和效率不断提高， 数学模型构建耗时将越来越低， 所耗费用也将越来越少。其次， 水环境数值模型可控性强， 即可模拟复杂的水环境系统，又可分离出单个要素进行细致分析； 数值模型的所有条件都是以数值给出， 不受实验条件的限制， 可以严格控制并方便改变边界条件和其他条件， 故既可模拟长至数百上千公里的河流水环境问题， 也可控制其他因素不受干扰， 独立研究某个因素的影响。最后，水环境问题的特点也决定了数值模拟的特殊地位， 例如， 在对于事故污染、赤潮、水华等环境灾害的研究中， 人们不可能复演或制造这种灾害， 而是采用数值模拟的方法获取相关参数研究水环境系统的变化规律， 以防治灾害的发生。
 另外， 需要指出的是， 水环境数值模型也具有局限性， 在应用中应注意其应用条件和使用范围。在条件允许的情况下， 对于一些精度要求较高的实际问题， 应和物理模型、原型观测等方法相结合， 相互印证、相互补充， 可望更准确地解决实际水环境问题。
 1.2 自然水体的流动特点及环境特征
 江河湖库是地球表面的重要水域， 其水体主要来自陆地表面的自然降水。雨水降落到地球表面顺着地面坡度逐渐汇集成集中的水流， 沿着地表呈线形凹槽泄水谓之河流，积于湖盆凹地的水体谓之湖泊。河流湖泊的水体除蒸发和渗流外， 最终将流入大海， 影响河口及近海的水环境。河流和湖泊都是天然水域， 而水库则是通过拦河筑坝， 在大坝后面形成的相对静止的人工水域。
 1.2.1 河流的流动特点及环境特征
 河流是陆地水体中最重要的组成部分， 它在重力作用下， 克服各种阻力向下游运动。水体流动的阻力主要来自河道弯曲、断面扩大与缩小等边界几何形态变化所产生的局部阻力以及因河床表面作用所产生的沿程阻力。糙率是表示河道阻力的主要参数之一， 对于天然河流， 由于周界形式极其复杂， 其糙率的变化也极其复杂； 既随水位的变动而变化， 还沿河流纵向随流程的改变而变化， 而且， 在同一过水断面上， 主流区水流受到的阻力也小于岸边或浅滩的水流阻力。重力和流动阻力共同造就了河流复杂的流动结构。
 河道水流运动速度较快， 并具有明显的主流区， 主流区的水流速度最快， 而靠近岸边的水流较慢， 主流区通常位于河心， 在弯曲的河道， 主流区也经常位于河岸的一侧。
 由于水流速度较快以及复杂地形的影响， 天然河道内水的流动多呈紊流状态， 水流每点瞬时流速， 不论大小和方向均在不断地变化， 其脉动值在水流动力轴附近最小， 而以糙率较大的河床和岸边最大。河流过水断面纵向时均流速分布呈对数函数或抛物线函数形式， 即河底最小， 水面或水面以下某深度最大。天然河道中的水流除沿着流道从上游向下游运动外， 还伴随着各种各样的二次流。二次流是由于过水断面的形状的改变或河道弯曲的影响， 在水流内部形成的一种较大尺度的漩涡运动。例如，在弯曲河段， 由于离心力影响而形成内环流， 表面指向凹岸， 底部指向凸岸； 在直线河段， 由于地球自转偏力、水面底凸凹、水流深浅、流速大小、断面形状等因素影响也将会产生相向的或者反向的一组或几组环流； 另外， 当出现洪水传播引起水位剧烈变化时， 也会出现过水断面上水流的横比降， 形成涨落水环流。这些二次流和主流组合成河道中复杂的水流现象。
 河流是地球表面淡水资源更新较快的水体， 水流从源头达到河口一般仅需12 ～ 20天， 是自然环境中各种物质相互转换的重要动力之一。河水中的悬浮物质、溶解物质、水生生物及排入的污染物， 均随水流动。河流的许多生物对水中溶解氧含量的高低非常敏感， 流动水面与大气交界面经常相互掺混， 复氧条件好， 有利于水生生物生长和有机污染物的降解。河水的温度随空气温度的变化而变化， 只是由于水的比容较大， 水温的变化幅度小于气温的变化幅度； 另外， 河水的温度沿程升高， 其升高幅度与流程近似呈正比。由于水流的速度较大， 卵石和砾石河床具有多种附着面及洞穴、裂隙等， 使底栖动植物避开急流冲击， 有利于底栖生物和附生植物的生存， 而砂和细砂河底对动植物的生存不利。
 河流从源头到入海口， 沿途流经地区复杂， 形成很大差异。一般上游河段落差大、水流急、水侵蚀力强， 河底底质多为岩石或砾石， 悬浮物和有机质含量低， 因此水流清澈， 水中溶解氧含量高。而河水中的营养物质主要来自河岸的绿色植物， 多为营养粗颗粒。中下游河段的落差和流速均较上游平缓， 河槽趋于稳定， 藻类和其他水生植物也相应增多。下游河段河底坡降平缓， 水面开阔， 流速减缓， 水中悬浮物、沉积物增多， 阳光透入深度减小， 水流较混浊， 河流复氧能力下降。另外， 该河段水生植物减少， 营养物质主要来自上游， 再加上沿途流入各种污染物， 致使水中溶解氧含量偏低。
 1.2.2 湖泊的流动特点及环境特征
 湖泊是陆地表面具有一定规模的天然洼地的蓄水体系， 是湖盆、湖水以及水中物质组合而成的自然综合体。湖泊中的水体在多种因素作用下， 产生流动， 形成湖流。与河流相比， 湖流速度缓慢， 水体交替周期较长， 而且深受四周陆地生态环境的制约， 其水流动力过程具有鲜明的个性和地区性的特点。湖泊的几何形态在很大程度上决定了湖泊自身的水动力特性， 对于大面积的湖泊而言， 影响湖流的主要边界条件是湖泊的表面边界， 而不是湖泊的横断面边界。与海洋相比， 湖泊是相对较小的， 可以忽略天文潮汐的作用， 但对于面积较大的湖泊， 需考虑地球自转科氏力的影响。
 根据湖流形成的动力机理， 通常将湖流划分为风生流、吞吐流（倾斜流） 及密度流。风生流是由于湖面上的风力所引起的湖水运动， 是一种最常见的湖流运动形式； 吞吐流则是由与湖泊相连的各个河道的出、入流所引起的水流运动； 密度流是由于水体受水温分层等因素作用， 水体密度不均匀所引起的水体流动。在绝大多数湖泊水体中， 后者的流速量级较前两者小得多， 但在深水湖泊中， 密度流也是一种较为常见的湖流流态。风是大型湖泊水体运动的主要动力来源， 湖面风能可以引起湖泊表面以下3m 左右的水层内水体的混合， 在一些分层湖泊中， 风引起的长波运动对恒温层或斜温层的混合过程的影响十分显著。而对于一些滞留时间比较短（小于10 天左右） 的湖泊， 水体运动过程受湖泊周围河道吞吐流的影响比较大。实际上， 对于大多数湖泊而言， 水流运动往往是多因素共同作用的结果， 只是各种流态的强弱有所区别。
 水温、光照强度和营养物质是湖泊最重要的环境要素。由于水流缓慢， 大多数湖泊存在水温分层的现象： 湖水表面在阳光照射下形成明显的上层暖水， 深层冷水的结构；表层水与深层水之间的过渡层， 叫温跃层。温跃层内水温下降较快， 通常水深每增加1m 温度至少下降1 ℃ 。湖泊中的光照主要来自太阳的辐射， 水体中的光照强度随水深增加而逐渐递减， 根据光照强度的不同， 以1% 水面日照辐射为界， 可以将水体分为光亮层和深底层。和光照不同， 水体中的氮、磷等营养成分主要来源于湖底的营养层， 因此湖水中营养物质的分布是底层浓度高， 表层浓度低。而且水温分层后， 更限制了营养物质从底层向表层的输移。与湖水的光照强度和营养物质分布相适应， 光亮层自养生物占优势， 同时还有自游生物、漂浮生物及浮游动物； 深底层中因光线弱， 异养生物占优势； 沿岸浅水区有丰富的光照和氧气， 水中养分含量高， 多生长水生的高等植物和浮游藻类。
 1.2.3 水库的流动特点及环境特征
 水库是人们按照一定的目的， 在河道上建坝或堤堰创造蓄水条件而形成的人工湖泊。水库的水流缓慢， 水体运动及各种物理化学的运动过程基本与天然湖泊相似； 但是， 水库多设有底孔、溢洪道、给水管道等泄水建筑物， 使相当部分水流沿一定方向流动， 因此它兼有河流和湖泊的特征。
 和天然湖泊类似， 水温分层也是水库最主要的特征之一。水库的分层结构不仅取决于气温、水面风速等气象条件， 水库的泄流方式也会对水体的水温结构产生巨大的影响。水库的出流结构一般位于深水层， 如果出口泄出的流量较小， 则垂向密度梯度可以产生浮力足以阻止广泛的垂向运动， 这时， 水库的分层结构与天然湖泊类似， 主要受气象条件的影响； 出口泄出的流量较大时， 水体的斜温层将会下弯， 在泄流孔的高程形成温度梯度较大的水层。
 和湖泊相比， 水库的径流量较大。流进水库的河水温度几乎总是与水库的表层水温不同， 因此密度也不同， 在流进水库时， 河道水流将推动水库中停滞在它前面的水体，形成异重流。根据入流水体与水库水体密度的比值， 水流穿过水库中的流动方式有三种： 如果进流水体较暖， 则沿水面流动； 如果进流较冷则潜入库底沿原河道作淹没流动； 如果入流水体的密度与水库中某一层水体密度相等时， 则入流水体会离开河底水平侵入水库， 形成中间流（Ahlfeld et al.， 2003） 。
 水库的分层结构和大坝的泄流方式对水库的营养物质产生影响。水库中水体的污染物主要来自于库底， 水体上层营养物质的浓度一般小于底层， 如果采用表层的泄流方式， 则营养物质容易在水库内聚集， 营养物质逐渐升高； 而如果采用底层的泄流方式，营养物质则流到下游， 库内的营养物质会逐渐减少， 对于保证水库的水质有利。
 1.3 基本控制方程和常用数值方法
 水动力及水环境数值模型的构建主要包括数学建模、数值求解两部分： 数学建模基于水环境系统的分析， 并引入某些假设和简化， 采用符号、公式等数学的语言对其运动变化规律进行表述； 数值求解采用数值计算的方法， 将所建立的连续的、复杂的数学模型用大量空间点上物理量的变化来近似， 并通过计算得到模型的数值解。
 1.3.1 水流及物质输移扩散的基本方程
 水体流动以及水中物质随水流的迁移是水环境系统的基础物理运动。所有水体运动均可以采用Navier-Stokes 方程表示， 而对于湖泊、河流、水库、近海等水体， 其垂向尺寸远小于水平尺寸， 可将控制方程简化为浅水方程； 物质随水流的运动变化可以采用输移扩散方程进行表述。
 1.水流运动的浅水方程
 描述不可压缩流体运动的Navier-Stokes 方程与连续方程通过时间平均得到雷诺时均方程， 其表达式采用张量表示为雷诺应力， 它代表紊动对时均流动产生的影响。雷诺方程并不封闭， 为了解决雷诺方程的封闭问题， Boussinesq 将雷诺应力和黏性应力进行比拟， 将雷诺应力与时均流速建立联系， 其表达式为式中， νt 为紊动黏性系数， 通过紊流模型求得， 有关紊流模型请参考余常昭（1990） 的讨论。
 河流、湖泊、水库等的流动具有以下特点： ① 流动水平方向上的特征尺度远远大于垂直方向上的特征尺度。② 垂直方向上的特征流速远远小于水平方向上的特征流速（Jin ， 1993） 。根据量级分析， 在垂直方向上主要由压力和重力保持平衡，垂直方向的动量方程可以简化为静水压强方程。为表述简单， 省略变量时均值上的短横线，并采用图1.1 的坐标系， 垂直方向上的动量方程简化为式中， ζ ＝ ζ（x1 ， x2 ， t） 为自由面水位； pa 为自由水面的大气压强。自由水面沿时空发生变化， 利用Leibnitz 积分公式， x1 方向上的压强梯度表示为这样， 用自由水面的坡度来代替水平方向上的压强梯度， 并忽略自由水面大气压强的变化， 式（1.6） 等号右边的第二项不计。将式（1.6） 代入式（1.1） 中的水平方向的动量方程， 并忽略黏性应力项， 得到式中， i ＝ 1 ， 2 ； j ＝ 1 ， 2 ， 3 ； f i 为科氏力， 在北半球f1 ＝ 2 Ωsinφu2 ， f2 ＝ - 2 Ωsinφu1 ，其中Ω 为地球自转角速度， φ 为当地的纬度。
 沿垂直方向对连续方程进行积分， 得式中， i ＝ 1 ， 2 ； H ＝ H（x1 ， x2 ） ， 表示以x3 ＝ 0 为基准面的水深， 它随时间的变化忽略不计。自由水面上垂向流速的表达式为同样， 水体底部边界上的垂向流速表达式为u3 （x1 ，x2 ，- H ，t） ＝ - ui?H?xi（i ＝ 1 ，2） （1.10）将式（1.9） 和式（1.10） 代入式（1.8） ， 并运用Leibnitz 积分公式， 得到自由面水位的计算表达式

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