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《三维点采样模型的几何处理与形状造型》可以作为高等学校计算机、应用数学、机械工程、电子工程、
航空、造船、轻工等专业高年级本科生或研究生的参考书，也可供计
算机图形学、计算机辅助设计、数字娱乐、文物保护等领域的科技人
员阅读。

内容简介

《三维点采样模型的几何处理与形状造型》是介绍三维点采样模型数字几何处理的一《三维点采样模型的几何处理与形状造型》。《三维点采样模型的几何处理与形状造型》对三
维点采样模型几何处理和形状造型的一些核心领域进行了详细介绍，
包括点采样模型几何处理中的基本问题、点采样模型的参数化方法、
点采样模型的分片方法、点采样模型的光顺去噪方法、点采样模型的
简化重采样方法、点采样模型的形状修复和纹理合成方法、点采样模
型的形状造型方法、点采样模型的形状变形方法等，这些内容构成了
一个较完整的点采样模型数字几何处理框架，《三维点采样模型的几何处理与形状造型》所提出算法下实现
的大量应用实例验证了算法的有效性、实用性和通用性。

目　　录

序前言
第 1
章绪论 ?1
1.1三维数字几何数据的表达方法 1
1.1.1 三角网格表示 2
1.1.2 离散采样点(点元)表示 ??2
1.2点采样模型的计算机生成流程 4
1.2.1 三维数据获取 ??4
1.2.2 曲面重建和表示 ?5
1.2.3 几何处理和形状造型 ??8
1.2.4 基于点的绘制 ??8
1.3点采样模型几何处理和形状造型 9
1.3.1 三维扫描数据点的获取 ?10
1.3.2 点采样模型预处理 ?11

序前言 
第 1 
章绪论 ?1 
1.1三维数字几何数据的表达方法 1 
1.1.1 三角网格表示 2 
1.1.2 离散采样点(点元)表示 ??2 
1.2点采样模型的计算机生成流程 4 
1.2.1 三维数据获取 ??4 
1.2.2 曲面重建和表示 ?5 
1.2.3 几何处理和形状造型 ??8 
1.2.4 基于点的绘制 ??8 
1.3点采样模型几何处理和形状造型 9 
1.3.1 三维扫描数据点的获取 ?10 
1.3.2 点采样模型预处理 ?11 
1.3.3 表面属性分析 ?13 
1.3.4 特征提取 ?14 
1.3.5 曲面简化和重采样 15 
1.3.6 形状造型 16 
1.3.7 纹理合成 18 
1.3.8 点采样模型的动画 ??18 
1.4全书内容组织结构 19 
第 2章点采样模型几何处理中的基本问题 21 
2.1采样点邻域的选取 ? 21 
2.1.1 欧氏邻域 ?? 22 
2.1.2 K-最近点邻域 22 
2.1.3 投影邻域 ? 22 
2.2 Meanshift邻域选取 ?? 23 
2.3点采样模型的微分属性估计 26 
2.4基于能量极小原理的曲率估计 ? 28 
2.4.1 基于面元的曲率估计 ?? 28 
2.4.2 基于点云的曲率估计 30 
2.5基于投影方法的微分属性估计 ?31 
2.5.1 微分几何理论 31 
2.5.2 主曲率和主方向计算 ?? 32 
2.5.3 计算法截线的法曲率 33 
2.5.4 投影方法 ? 33 
2.5.5 实验结果 ?? 34 
2.6本章小结 36 
第 3章点采样模型的参数化方法 38 
3.1三维模型的参数化 38 
3.2点采样模型的参数化 ?? 40 
3.3点采样模型的调和映射参数化 ?? 40 
3.3.1 点采样模型的参数化方法 40 
3.3.2 基于调和映射球面中值性质的权因子构造 ?? 42 
3.3.3 调和映射参数化中权因子的确定 44 
3.3.4 实验结果和讨论 ?? 44 
3.4基于统计的分片参数化方法 ? 46 
3.4.1 多维尺度分析参数化方法 46 
3.4.2 实验结果与讨论 47 
3.5本章小结 ?? 49 
第 4章点采样模型的分片方法 ?? 50 
4.1三维模型的分片概述 50 
4.2三维模型的分片方法 ? 51 
4.3基于聚类的点采样模型分片方法 ?? 52 
4.4基于 Level Set的交互式区域分割方法 55 
4.4.1 Level Set 方法 ? 55 
4.4.2 点采样模型测地线求取和交互式区域分割 56 
4.5本章小结 ? 62 
第 5章点采样模型的光顺去噪方法 ?? 64 
5.1三维模型的光顺去噪 ? 64 
5.2基于平衡曲率流方程的点采样模型光顺算法 65 
5.2.1 鲁棒的各向异性流 ?? 66 
5.2.2 保体积流 ?? 69 
5.2.3 动态平衡曲率流 ?? 70 
5.2.4 实验结果与讨论 73 
5.3点采样模型的非局部去噪算法 75 
5.3.1 非局部去噪基本原理 75 
5.3.2 点采样模型采样点几何灰度值 ?? 76 
5.3.3 点采样模型 NL-Means去噪算法 ? 77 
5.3.4 聚类加速计算 ? 79 
5.3.5 实验结果与讨论 80 
5.4本章小结 83 
第 6章点采样模型的简化重采样方法 ? 84 
6.1大规模点采样模型的简化 84 
6.2三维模型的简化重采样 85 
6.3自适应带宽 Meanshift理论和方法 ?? 86 
6.4基于 Meanshift聚类的点采样模型简化重采样 ?? 89 
6.4.1 Meanshift局部模式点的层次聚类 ? 90 
6.4.2 曲面 Splat面元表示 ?? 90 
6.4.3 实验结果与讨论 ?? 90 
6.5基于 Gaussian球细分的形状 Isophotic L2,1误差分析 96 
6.6基于 Gaussian球映射的点采样模型简化重采样 ? 99 
6.6.1 特征敏感重采样算法框架 ? 99 
6.6.2 利用索引扩散的采样点初始聚类 100 
6.6.3 合并孤立采样点 ? 102 
6.6.4 优化聚类生成正则化的圆盘形聚类 ? 102 
6.6.5 生成简化代表面元 ? 103 
6.6.6 利用椭圆 Splatting技术绘制简化点采样模型 ? 103 
6.6.7 实验结果与讨论 104 
6.7本章小结 108 
第 7章点采样模型的形状修复和纹理合成方法 ? 110 
7.1三维模型的形状修复和纹理合成概述 110 
7.2三维模型的形状修复 ? 112 
7.3点采样模型的纹理修复 ?? 113 
7.4点采样模型的几何修复 ??115 
7.4.1 模型几何细节编码 ?? 115 
7.4.2 基于上下文的几何修复 ? 116 
7.4.3 结构扩散的几何修复 ? 117 
7.4.4 几何克隆技术 118 
7.4.5 实验结果与讨论 ?? 119 
7.5纹理合成相关工作 ? 119 
7.6基于 EM算法的图像纹理合成 ? 120 
7.7点采样模型纹理合成预处理 ? 121 
7.7.1 点采样模型均匀聚类剖分 ?? 121 
7.7.2 具有重叠区域的计算单元块构建 122 
7.7.3 三维表面纹理方向场的建立 ? 122 
7.7.4 计算单元块的局部参数化 ?? 123 
7.8基于全局优化的点采样模型纹理合成 124 
7.8.1 点采样表面上纹理能量方程的建立和求解 ? 124 
7.8.2 基于流场引导的可控纹理合成 ? 127 
7.8.3 纹理表面的几何粗糙感 ? 128 
7.8.4 实验结果 129 
7.9本章小结 130 
第 8章点采样模型的形状造型方法 ? 131 
8.1三维模型的编辑造型 ? 131 
8.2点采样模型的形状造型系统 131 
8.3点采样模型的多分辨率形状编辑 ? 132 
8.3.1 多分辨率基曲面定义 ? 133 
8.3.2 几何细节表示 136 
8.3.3 基于几何细节映射的几何造型 ? 136 
8.3.4 几何细节迁移 ?? 139 
8.3.5 实验结果与讨论 ? 142 
8.4点采样模型的高频细节调控 ? 143 
8.4.1 理论基础 ? 143 
8.4.2 高频几何细节定义 ? 144 
8.4.3 高频几何细节调控 ? 147 
8.5点采样模型的保持高频细节编辑 ? 154 
8.5.1 生成简约采样点集 154 
8.5.2 保细节编辑简约采样点集 ?? 155 
8.5.3 扩散变形场 157 
8.5.4 实验结果 158 
8.6本章小结 ?? 161 
第 9章点采样模型的形状变形方法 ? 162 
9.1三维模型的形状变形 162 
9.2点采样模型的静态建模和动态造型 ?? 163 
9.3点采样模型的保细节形状编辑 ?? 163 
9.3.1 法向几何细节定义 163 
9.3.2 点采样模型的保细节编辑 ?? 165 
9.3.3 实验结果 ? 166 
9.4点采样模型的形状 Morphing ?? 167 
9.4.1 大规模点采样模型数据的参数化 ?? 168 
9.4.2 特征点匹配 ?? 168 
9.4.3 参数域类聚合并和映射生成 ?? 170 
9.4.4 Morphing路径问题 ? 171 
9.5点采样模型 Morphing中动态重采样 ? 172 
9.6基于分片的点采样模型 Morphing ?? 172 
9.6.1 点采样模型 Morphing 172 
9.6.2 实验结果与讨论 ? 173 
9.7本章小结 175 
第 10章总结与展望 ?? 176 
10.1 总结 176 
10.2 工作展望 ? 178 
参考文献 ? 180 
彩图 ?? 193

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第 1章绪论
继 20世纪 70年代出现数字声音，80年代出现数字图像和 90年代早期出现数字视频之后，90年代晚期出现的三维数字几何已经成为工业界和学术界广泛关注的第四种数字化媒体。随着获取三维数据的计算机硬件设备和软件技术的不断发展，加上与计算机网络技术的日益融合，三维数字几何在医学辅助诊断、数字娱乐、工业设计、医药卫生、航天模拟、电子商务、文物保护等领域获得了广泛的应用，产生了越来越深远的影响。面向三维几何数据的数字几何处理已成为计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、数字信号处理等学科的研究热点。在这一领域中，新概念、新理论、新技术、新算法、新工具正在不断涌现、方兴未艾，人们有理由相信三维数字几何作为一种崭新的数字化媒体将改变现代数字多媒体和网络通信的基础结构，进而影响到社会生活的各个方面。
继以三角网格模型为研究对象的网格数字几何处理之后，以离散采样点为表面表达方式的三维点采样模型由于其数据获取方便、数据结构简单等优点，已成为计算机图形学中的一个重要的研究领域(胡国飞 , 2005; 苗兰芳, 2005; 肖春霞, 2006;缪永伟 , 2007, 2009)。三维点采样模型数字几何处理的深入研究和广泛应用，迫切需要从理论到实践的升华、迫切需要对新概念的确切理解和学术认同来获取成熟实用的新算法、新技术。然而作为新的几何曲面表达形式，与传统的数字图像处理和视频处理等相当成熟的技术相比，点采样模型的数字几何处理尚处在一个发展阶段。本书从几何处理和形状造型两个角度，对三维点采样模型数字几何处理的一些核心领域进行了介绍和深入研究，初步构成了一个完整的点采样模型数字几何处理框架，书中所提出算法下实现的大量数字几何处理应用实例验证了算法的有效性、实用性和通用性。
1.1 三维数字几何数据的表达方法
在数字几何处理中一个基本的问题是如何选取合适的曲面表示方式，即通过什么样的数学描述方式在计算机上表示一个三维物体的表面。在过去的数十年中，面向不同的应用领域，研究者提出了多种不同的曲面表示方式。例如，在汽车和飞机等机械设计领域主要采用非均匀有理 B样条曲面( NURBS)(Farin, 2002)；在医学应用领域通常采用水平集(level set)(Museth et al., 2002)、径向基函数( radial base function)(Velho et al., 2002)等隐式曲面表示方法；然而在游戏、电影等工业领域人们则主要采用曲面的多边形表示方法。在这些表达方法中，曲面的三角网格表示方法由于其数据结构相对简单，处理方便而占有主导地位(DeRose et al., 1998; Botsch et al., 2007)。然而，曲面的离散采样点(点元)表示方法作为一种昀新的三维几何表面表示方法获得了学术界和工业界的广泛关注(Gross et al., 2007)。下面分别对这两种表示方法进行介绍。
1.1.1 三角网格表示

第 1章绪论 
继 20世纪 70年代出现数字声音，80年代出现数字图像和 90年代早期出现数字视频之后，90年代晚期出现的三维数字几何已经成为工业界和学术界广泛关注的第四种数字化媒体。随着获取三维数据的计算机硬件设备和软件技术的不断发展，加上与计算机网络技术的日益融合，三维数字几何在医学辅助诊断、数字娱乐、工业设计、医药卫生、航天模拟、电子商务、文物保护等领域获得了广泛的应用，产生了越来越深远的影响。面向三维几何数据的数字几何处理已成为计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、数字信号处理等学科的研究热点。在这一领域中，新概念、新理论、新技术、新算法、新工具正在不断涌现、方兴未艾，人们有理由相信三维数字几何作为一种崭新的数字化媒体将改变现代数字多媒体和网络通信的基础结构，进而影响到社会生活的各个方面。 
继以三角网格模型为研究对象的网格数字几何处理之后，以离散采样点为表面表达方式的三维点采样模型由于其数据获取方便、数据结构简单等优点，已成为计算机图形学中的一个重要的研究领域(胡国飞 , 2005; 苗兰芳, 2005; 肖春霞, 2006;缪永伟 , 2007, 2009)。三维点采样模型数字几何处理的深入研究和广泛应用，迫切需要从理论到实践的升华、迫切需要对新概念的确切理解和学术认同来获取成熟实用的新算法、新技术。然而作为新的几何曲面表达形式，与传统的数字图像处理和视频处理等相当成熟的技术相比，点采样模型的数字几何处理尚处在一个发展阶段。本书从几何处理和形状造型两个角度，对三维点采样模型数字几何处理的一些核心领域进行了介绍和深入研究，初步构成了一个完整的点采样模型数字几何处理框架，书中所提出算法下实现的大量数字几何处理应用实例验证了算法的有效性、实用性和通用性。 
1.1 三维数字几何数据的表达方法 
在数字几何处理中一个基本的问题是如何选取合适的曲面表示方式，即通过什么样的数学描述方式在计算机上表示一个三维物体的表面。在过去的数十年中，面向不同的应用领域，研究者提出了多种不同的曲面表示方式。例如，在汽车和飞机等机械设计领域主要采用非均匀有理 B样条曲面( NURBS)(Farin, 2002)；在医学应用领域通常采用水平集(level set)(Museth et al., 2002)、径向基函数( radial base function)(Velho et al., 2002)等隐式曲面表示方法；然而在游戏、电影等工业领域人们则主要采用曲面的多边形表示方法。在这些表达方法中，曲面的三角网格表示方法由于其数据结构相对简单，处理方便而占有主导地位(DeRose et al., 1998; Botsch et al., 2007)。然而，曲面的离散采样点(点元)表示方法作为一种昀新的三维几何表面表示方法获得了学术界和工业界的广泛关注(Gross et al., 2007)。下面分别对这两种表示方法进行介绍。 
1.1.1 三角网格表示 
在许多工业应用和商业软件(如 Alias、Softimage、Maya和 3DMAX等)中，三角网格是一种常用的几何物体表面的表示形式，特别是在处理性能要求较高的应用中，三角网格已取代了传统的 NURBS曲面等曲面表示形式，主要原因有以下几个方面。 
(1)三角网格具有强大的物体表面表示能力，任何拓扑和任意形状的模型外表面都能用三角网格进行表示，而且这种表示方式不需要满足复杂的片内光滑条件。 
(2)对三角面片的几何处理和绘制已得到高速图形硬件的支持。 
尽管三角网格作为一种简单实用的曲面表示方式在几何造型等领域中表现出其特有的优势，然而，随着现在实际使用的三角网格模型数据量越来越大，所表现的几何模型越来越复杂，三角网格表示方法也表现出了其局限性和不足，有些甚至是难以克服的困难。 
(1)三角网格模型需要基于三维扫描仪等设备的原始采样点数据进行曲面重建而获得，由于采样点数据含有噪声，采样曲面包含裂缝，加上原始数据量巨大，有的甚至有数亿个点(Levoy et al., 2000)，所以现有的曲面网格重建算法难以取得满意的效果而且计算量巨大。 
(2)大多数三角网格的几何处理算法需要维护二维流形表面的拓扑一致性，从而使这些算法变得复杂。例如，在网格模型简化时，对删去一个顶点的空洞区域需要进行重新三角化；而频繁变形的模型表面则需进行动态的局部网格重建来避免极度变形后出现的网格过度拉伸和扭曲现象(Kobbelt et al., 2000; 周昆, 2002)。 
(3)从绘制的角度来看，由于三维网格模型的数据量越来越大，而显示器的分辨率却没有以相应的速度跟进，数百万个三角形的网格模型投影到计算机屏幕上后，一个屏幕像素可能含有多个待绘制的三角形，此时采用传统的累加光栅化三角网格算法进行绘制已失去了意义，导致现有的高速网格图形硬件难以发挥其优势。对于高度复杂的几何模型基于采样点的绘制将是一种更好的绘制算法。 
由于三维网格模型建模和绘制的上述缺点，研究者提出了一种基于离散采样点的三维模型表面表示方法(Gross et al., 2007)。 
1.1.2 离散采样点(点元)表示 
在计算机图形学领域，离散采样点(点元)表示作为一种新的曲面表示方法引起了学术界的极大关注，对三维点采样模型的有效表示、几何处理、形状造型和绘制已有了相当多的研究。例如，国际电气和电子工程师协会(IEEE)和欧洲图形学学会 (Eurographics)联合主办的基于点的图形学研讨会( Symposium on Point-Based Graphics) 已经连续举行了多届。人们之所以对三维点采样模型产生了极大兴趣，除了三角网格表示方法所面临的困境，主要还有如下四个原因。 
(1)在当前计算机图形学应用中涉及的三角网格模型的数据量呈几何数增长。利用计算机进行有效管理、处理、操作如此庞大数量级的网格模型的拓扑连接关系需要巨大的开销，使得人们开始质疑三角网格作为三维图形基本表示单元的前景。 
(2)先进的三维数字照相机和三维扫描仪系统不仅能获取现实世界中复杂物体的几何信息，还能获取表面外观属性( appearance)如物体表面颜色纹理信息等，通过这些技术生成巨大数量的表面采样点。犹如图像中像素作为其基本的数字单元一样，这些表面采样点便构成了三维物体几何和外观属性的基石。人们希望直接基于这些离散采样点来表示复杂的三维几何模型，并能直接对点采样模型进行编辑造型，从而避免通过烦琐的曲面重建来获得三角网格模型。 
(3)点采样模型已拥有成熟的绘制技术，例如， Qsplat方法、椭圆加权平均( Ellipse Weighted Average, EWA)方法等，它们已经能够快速生成高质量的绘制效果，可支持交互式编辑和造型操作，这使得学术界更加坚信点元作为曲面表示基元的巨大前景。 
(4)基于稠密采样和成熟的绘制技术，点采样模型可以比网格模型表示更加丰富的表面细节。尤其在处理一些复杂三维模型(如三维雕塑模型)时，采用点采样模型是一种更理想的表示方法。 
三维点采样模型通常采用离散的采样点集来表示连续的三维物体外表面。具体地说，在连续的模型外表面上，按一定的规则(如均匀采样、基于曲率变化的采样等)进行采样，产生一系列称为曲面采样点的三维点坐标 pi (i = 1, 2, ", n )，其中 n为采样点数目，每一采样点 pi可能附加有法向量、表面外观属性(如纹理颜色)和其他材料属性等。这样的曲面称为点采样曲面(point-sampled surface)或点集曲面( point set surface)，由离散采样点集表示的模型称为点采样模型或点集模型，也简称为点模型 (point-sampled model或 point-sampled geometry)。三维模型表面的三角网格和点元表示如图 1.1所示。 
下面将介绍三维点采样模型在计算机中的生成流程，包括三维数据获取、曲面重建和表示、几何处理和形状造型、基于点的绘制等。 
1.2 点采样模型的计算机生成流程 
一般地说，有两种方式可以获取三维数据：一种方法是通过交互的曲面造型软件和算法构建；另一种方法即采用三维扫描仪等设备对物理模型进行离散采样。随着所需三维几何模型越来越复杂，由于第一种方法耗时且难以构建现实世界中的物理模型，第二种方法逐渐占据主导地位。市场上大量出现的各种档次的三维扫描仪的几何获取能力和数据质量已足以满足实际应用的需求。 
基于三维扫描技术的点采样模型计算机生成流程如图 1.2所示( Pauly, 2003)。首先三维扫描仪对物理模型进行数字化采样获得该模型的原始扫描数据，然后通过适当的曲面表示方法对这些原始数据进行局部重建以获取局部几何信息，并方便后续的几何处理和形状造型，昀后采用适当的绘制方法将造型结果绘制并显示在计算机屏幕上。在后续各小节中将对这些步骤加以详细论述。 
1.2.1 三维数据获取 
尽管几何造型技术已经发展了多年，但手工制造几何模型的烦琐过程大大阻碍了三维几何模型的应用。由于各种档次的三维扫描仪提供的三维数据获取能力的大大发展，把现实世界中的物体数字化成三维几何模型已经不再困难。这个领域由于商业上实用的硬件和软件技术使得获取三维数据和几何外观属性变得更容易。三维扫描设备作为获取物理模型表面数字化表示的广泛使用的工具，常用的扫描仪包括激光测距扫描仪(Levoy et al., 2000)和结构化的光学扫描仪( structured light scanners)(Gruss et al., 1992)。三维扫描仪应用的一个著名例子是斯坦福大学的数字米开朗基罗计划( Levoy et al., 2000)(图 1.3)，该项目通过一整套三维扫描硬件和三维重建软件系统完成了一些大型雕塑(如 David模型)的数字化过程，整个工程动用了 22人和 480个扫描仪，主扫描仪高 7.5m，重达 800kg，昀高扫描精度为 0.29mm，完成 1080人时工程量，扫描生成的 David雕塑模型包括 400万个采样点，总数据量达到 32GB。 
采用扫描仪获取的数据通常为离散的采样点集，基于不同的采样设备，每个点通常还包含一些属性，如颜色、材质和测量自信度等。对高度复杂的模型(如自交、卷曲的模型)进行扫描时，由于扫描设备的局限性，获取的几何模型可能不完整，即模型会包含孔洞和裂缝等缺陷，相应的表面颜色纹理也会有所缺失；此外获取的模型可能包含外围线 (outlines)、浮游点或偏离于原始曲面的噪声等，如图 1.4所示。因此获取的原始数据需要进行预处理( Weyrich et al., 2004)以获得满意的结果，便于随后的几何处理和绘制等。 
1.2.2 曲面重建和表示 
由于扫描获取得到的数据是离散点云和附在点上的相关属性，需要将离散点转化为适当的表现形式，例如，三角网格模型表示和点采样模型表示等，才能将原始数据在计算机上显示出来。 
曲面重建是几何造型和计算几何中的一个重要研究领域( Hoppe et al., 1992; Curless et al., 1996; Eck et al., 1996; Amenta et al., 1998)。假设原始曲面是一个二维光滑流形，曲面重建的目标是为这些离散的采样点云构建一个连续的曲面。基于点元的几何表示方法其基元是离散点集，包括每个点的三维坐标 pi、对应的法向 ni和附有的颜色与材质属性等，下面介绍几种典型的点采样模型表示方式。 
1．基于纯采样点元的表示 
在基于纯采样点元的表达方式中，三维模型表面的采样点是纯几何意义上的点，即只有几何位置、法向，但没有点的面积。点的法向也可通过对采样点邻域内采样点集合的协方差分析法( covariance analysis)计算得到，再通过昀小生成树方法( Hoppe et al., 1992)为所有点元获取全局一致的法向，其中采样点邻域可通过采样点的层次空间剖分技术(K-D树、BSP树和八叉树等)来计算。根据逼近理论，点云实际上是真实物体表面的一种分片常数的表面逼近，相对于每个坐标分量函数，如

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