考研数学二2015 考研历届数学真题题型解析（数学二）pdf/txt下载_在线阅读全文

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内容简介

　　本书是作者在十多年收集、整理资料和进行考研数学三辅导的基础上，通过对历年试题的精心分析研究，并结合授课体会和学生的需要全新编写而成的。通过认真分析研究、了解、消化和掌握历年试题，帮助考生发现命题的特点和趋势，找出知识之间的有机联系，总结每部分内容的考查重点、难点，归纳常考典型题型，凝练解题思路、方法和技巧，明确复习方向，从而真正做到有的放矢、事半功倍地进行复习。

作者简介

　　主编黄先开曹显兵，两位主编为考研数学辅导领军人物，均为中国科学院数学博士，知名高校教授，在学术界和科研上贡献突出，在考研辅界有很好的口碑和群众基础，授课各具特色，深受考生欢迎。各自均出版有三部专著和多篇重要学术论文，并主编考研图书多部。

目　　录

第一部分高等数学
第三章一元函数积分学
第四章多元函数微分学
第五章重积分
　题型54分块计算二重积分
第二部分线性代数
第二章矩阵
第三章向量
第五章矩阵的特征值与特征向量
附录
　附录一2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
　附录二2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
　附录三2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
　附录四2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

第一部分高等数学


	第一章函数、极限、连续


	　题型11函数的概念及其特性


	　题型12极限概念与性质


	　题型13函数极限的计算


	　题型14函数极限的逆问题


	　题型15数列的极限


	　题型16无穷小量的比较


	　题型17函数的连续性及间断点的分类


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	第二章一元函数微分学


	　题型21考查导数的定义


	　题型22导数的几何、物理应用


	　题型23一般导函数的计算


	　题型24可导、连续与极限的关系


	　题型25微分的概念与计算


	　题型26利用导数确定单调区间与极值


	　题型27求函数的最值


	　题型28求函数曲线的凹凸区间与拐点


	　题型29求函数曲线的渐近线


	　题型210利用导数综合研究函数的性态


	　题型211确定函数方程f(x)=0的根


	　题型212确定导函数方程f′(x)=0的根


	　题型213有关高阶导数中值的命题


	　题型214微分中值定理的综合应用


	　题型215利用导数证明不等式


	　题型216曲率与弧长的计算


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第三章一元函数积分学


	　题型31原函数与不定积分的概念


	　题型32定积分的基本概念与性质


	　题型33不定积分的计算


	　题型34定积分的计算


	　题型35变限积分


	　题型36定积分的证明题


	　题型37反常积分


	　题型38应用题


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第四章多元函数微分学


	　题型41基本概念题


	　题型42多元复合函数求偏导数和全微分


	　题型43隐函数求偏导和全微分


	　题型44求在变换下方程的变形


	　题型45求多元函数的极值和最值


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第五章重积分


	　题型51二重积分的定义


	　题型52将二重积分化为累次积分


	　题型53利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分


	 
　题型54分块计算二重积分


	　题型55交换坐标系


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 


	 


	第六章微分方程


	　题型61一阶微分方程


	　题型62可降阶方程


	　题型63高阶常系数线性微分方程


	　题型64微分方程的应用


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第二部分线性代数


	第一章行列式


	　题型11利用行列式的性质和按行(列)展开定理计算行列式


	　题型12利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式


	　题型13利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第二章矩阵


	　题型21有关逆矩阵的计算与证明


	　题型22矩阵的乘法运算


	　题型23解矩阵方程


	　题型24与初等变换有关的命题


	　题型25与伴随矩阵A*有关的命题


	　题型26矩阵秩的计算与证明


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第三章向量


	　题型31向量的线性组合与线性表示


	　题型32向量组的线性相关性


	　题型33求向量组的秩与矩阵的秩


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 


	第四章线性方程组


	　题型41解的判定、性质和结构


	　题型42求齐次线性方程组的基础解系、通解


	　题型43求非齐次线性方程组的基础解系、通解


	　题型44抽象方程组的求解问题


	　题型45有关基础解系的命题


	　题型46讨论两个方程组解之间的关系（公共解、同解）


	　题型47与AB=0有关的命题


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	 
第五章矩阵的特征值与特征向量


	　题型51求数字矩阵的特征值和特征向量


	　题型52求抽象矩阵的特征值


	　题型53特征值、特征向量的逆问题


	　题型54相似矩阵的判定及其逆问题


	　题型55可对角化的判定及其逆问题


	　题型56实对称矩阵的性质


	　本章总结


	　自测练习题


	　自测练习题答案或提示


	第六章二次型


	　题型61合同变换与合同矩阵


	　题型62化二次型为标准形或规范形的逆问题


	　本章总结


	 
附录


	　附录一2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录二2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录三2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录四2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录五2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录六2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录七2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录八2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录九2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录十2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录十一2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题


	　附录十二2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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在线试读部分章节

　　第一部分高等数学
　
　　第一章函数、极限、连续
　　
　　考试内容与要求
　　
　　
　　函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立,数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左极限与右极限,无穷小量和无穷大量的概念及其关系,无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限：
　　
　　limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e,
　　
　　函数连续的概念，函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.
　　
　　
　　1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.
　　
　　2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

第一部分 高等数学 
　 
　　第一章函数、极限、连续 
　　 
　　考试内容与要求 
　　 
　　 
　　函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性,复合函数、反函数、分段函数和隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,函数关系的建立,数列极限与函数极限的定义及其性质,函数的左极限与右极限,无穷小量和无穷大量的概念及其关系,无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则,两个重要极限： 
　　 
　　limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e, 
　　 
　　函数连续的概念，函数间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质. 
　　 
　　 
　　1． 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 
　　 
　　2． 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性. 
　　 
　　3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 
　　 
　　4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 
　　 
　　5． 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系. 
　　 
　　6． 掌握极限的性质及四则运算法则. 
　　 
　　7． 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 
　　 
　　8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 
　　 
　　9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 
　　 
　　10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 
　　 
　　题型11函数的概念及其特性 
　　 
　　 
　　 
　　 
　　1（05,4分）（05，4分）表示该题为2005年考研数学二真题，其分值为4分，全书同.另外，对2003年以后未考的题型，也特意选了一个往年考题供参考.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有 
　　 
　　(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数. 
　　 
　　(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数. 
　　 
　　(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数. 
　　 
　　(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数. 【】 
　　 
　　【答案】应选(A). 
　　 
　　【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 
　　 
　　【详解1】任一原函数可表示为F(x)=∫x0f(t)dt+C，且F′(x)=f(x). 
　　当F(x)为偶函数时，有F(-x)=F(x)，于是F′(-x)(-1)=F′(x)，即-f(-x)=f(x)，也即f(-x)=-f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则∫x0f(t)dt为偶函数，从而F(x)=∫x0f(t)dt+C为偶函数，故选（A）. 
　　 
　　【详解2】令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 可排除（B），（C）; 令f(x)=x, 则取F(x)=12x2,可排除（D），故应选（A）. 
　　 
　　【评注】请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？ 
　　 
　　 
　　 
　　2(14,4分）设y=f(x)是周期为4的可导奇函数, 且f′ (x)=2(x-1), x∈\[0, 2\], 则f(7)= 
　　 
　　【答案】应填1 
　　 
　　【详解】由 f′ (x)=2(x-1), 有f(x) = x 2-2x +C ,x∈\[0, 2\] 
　　 
　　又因y=f(x)是周期为4的可导奇函数, 得 f (0) =0 , 故C =0 
　　 
　　所以 f (7)=f (3)=f (-1)=-f (1) = 1 应填 1 
　　 
　　 
　　 
　　 
　　第一章函数、极限、连续 
　　 
　　 
　　 
　　第一部分高等数学 
　 
　　函数的概念及其复合，包括分段函数的复合，本质上是函数关系的建立问题，而建立函数关系是进一步研究函数性质的基础.对于函数的四个主要特性:奇偶性和周期性一般用定义检验；单调性则大多用导数符号分析；有界性往往需要结合极限与连续的性质来确定. 
　　 
　　 
　　题型12极限概念与性质 
　　 
　　（03，4分）设an,bn,cn均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有 
　　 
　　(A)an＜bn对任意n成立.(B)bn＜cn对任意n成立. 
　　 
　　(C)极限limn→∞ancn不存在.(D)极限limn→∞bncn不存在.【】 
　　 
　　【答案】应选(D). 
　　 
　　【详解1】本题考查极限的概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limn→∞ancn是“0∞”型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限limn→∞bncn属“1∞”型，必为无穷大量，即不存在.故应选(D). 
　　 
　　【详解2】用举反例法，取an=2n，bn=1，cn=12n(n=1,2,…)，则可立即排除(A),(B),(C)，故应选(D). 
　　 
　　 
　　 
　　关于极限的存在性，以下几点是值得注意的： 
　　 
　　1若limf存在，limg不存在，则lim(f±g)一定不存在,但limfg,limfg可能存在，也可能不存在; 
　　 
　　2若limf=l≠0，limg=∞,则limfg=∞； 
　　 
　　3若f有界，limg=∞,则lim(f±g)=∞，但limfg不一定为∞. 
　　……

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