让数学变得更容易——不等式pdf/txt下载_在线阅读全文

编辑推荐

　　● 丛书主编张景中院士
　　一、用科普的笔法来写，语言读来风趣幽默；
　　二、联系生活，用大量生活案例来类比不等式的种种性质；
　　三、数形结合，注重几何直观；
　　四、注重解题思路与方法的渗透，强调启发性；
　　五、重视基础性和通性通法，淡化特殊技巧。

内容简介

　　本书分为两部分，第一部分共14章，介绍了十余个中学生所熟悉的不等式，每个不等式基本上都按“课堂掠影”“精彩故事”“不等式介绍”“趣味案例”“案例分析”“不等式证明”“不等式应用”“思维点拨”八个模块展开，力图使读者对每个不等式都有较为全面系统的认识。第二部分收录了7篇文章，有理论阐述，亦有案例分析，力求讲清不等式证明中的一些基本问题和基本处理方法，现身说法揭秘一些不等式的证明过程。
　　本书注重基础，趣味性强，同时深入数学本质。除了收集整理一些不等式的试题和趣味案例外，更多的是作者原创。作者站在教师的角度，思考如何给别人讲授，以期不等式初学者尽快入门，适合高中以上文化程度的学生、教师、不等式爱好者参考使用。

作者简介

　　彭翕成，工作于华中师范大学。多次参与国家重大课题的研究并获奖；参与编写湘教版数学教材、《十万个为什么》等。
　　曾在《数学通讯》、《中学数学》、《中学生数理化》、《新高考》、《科技导报》等刊物开设专栏，其中被《中学数学》评价为“数学教育领域年轻一辈的代表性人物”。著作十余部，主要有《数学哲学》、《绕来绕去的向量法》、《仁者无敌面积法》、《动态几何教程》、《数学教育技术》、《课本上学不到的数学》、《师从张景中》、《向量、复数与质点》等。
　　热衷于数学科普写作，由浅入深，娓娓道来，又能平中见奇，展现给人新的视角，其博文在网络上影响甚大，读者众多。
　　杨春波、程汉波，华中师范大学2009级本科毕业生，现分别工作于郑州外国语学校和广州市第二中学。主要研究方向有数学解题，数学教育等，近年来在《中等数学》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学教学参考》等CN刊物上独立或合作发表论文30余篇，并拥有自己的数学博客“美丽背后的火热思考”

目　　录

第〇章不等式王国国轨
第一章糖水的秘密——糖水不等式
第二章木桶盛水有学问——木桶不等式
第三章绝对值函数与绝对值不等式
第四章耐克函数与耐克不等式
第五章万丈高楼平地起——基本不等式
第六章各种平均数，究竟谁最大——均值不等式
第七章柯西讲的不等式的故事——柯西不等式
第八章打水排序你可知——排序不等式
第九章凸凹不平怎反映——Jensen不等式
第十章令人费解的Hlder不等式
第十一章叱咤风云数十年——Schur不等式
第十二章一个会生蛋的不等式——嵌入不等式
第十三章小小三角形，蕴藏大乾坤

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在线试读部分章节

　　【课堂掠影】
　　叮铃铃——
　　一阵上课铃声响过，只见数学彭老师健步走进教室，不紧不慢地在黑板上写下这样的两个分数：
　　和。
　　彭老师笑着对大家说：不用计算器，谁能比比这两个数谁大谁小？
　　彭老师那略带挑战性的口吻一下子激起了同学们的兴趣，大家都拿起了笔，开始在纸上写写算算。
　　但观其表象，就知不易。用作差法稍稍一试就等价于判断下面这个式子的符号：
　　，
　　这可都是十亿之多的数字相乘，该怎么比较它们的大小呢？用计算器也不一定算得出啊！
　　同学们锐气大减，一个个眉头紧锁，不知如何是好。
　　彭老师见状，说：大家看到一个问题时，先不要着急动手，而要看看、瞧瞧，仔细把题目打量一番，这叫观察，是解题的第一步；那我们看看这两个分数在形式上有什么特征或者是有什么联系呢？
　　经彭老师这么一启发，大家就炸开了锅，开始畅所欲言了。
　　“第一个分数的分子和分母的各位数字是连续的，第二个分数的分子和分母开始时也是连续的。”
　　“这两个数都是真分数！”
　　“第一个分数的分子比第二个分数的分子大，分母也比第二个分数的大！”
　　“不仅比第二个分数的大，第一个分数的分子、分母还分别等于第二个分数的分子、分母都加1。”
　　……
　　对于学生们的回答，彭老师都点头表示赞许。

【课堂掠影】 
　　叮铃铃—— 
　　一阵上课铃声响过，只见数学彭老师健步走进教室，不紧不慢地在黑板上写下这样的两个分数： 
　　 和 。 
　　彭老师笑着对大家说：不用计算器，谁能比比这两个数谁大谁小？ 
　　彭老师那略带挑战性的口吻一下子激起了同学们的兴趣，大家都拿起了笔，开始在纸上写写算算。 
　　但观其表象，就知不易。用作差法稍稍一试就等价于判断下面这个式子的符号： 
　　 ， 
　　这可都是十亿之多的数字相乘，该怎么比较它们的大小呢？用计算器也不一定算得出啊！ 
　　同学们锐气大减，一个个眉头紧锁，不知如何是好。 
　　彭老师见状，说：大家看到一个问题时，先不要着急动手，而要看看、瞧瞧，仔细把题目打量一番，这叫观察，是解题的第一步；那我们看看这两个分数在形式上有什么特征或者是有什么联系呢？ 
　　经彭老师这么一启发，大家就炸开了锅，开始畅所欲言了。 
　　“第一个分数的分子和分母的各位数字是连续的，第二个分数的分子和分母开始时也是连续的。” 
　　“这两个数都是真分数！” 
　　“第一个分数的分子比第二个分数的分子大，分母也比第二个分数的大！” 
　　“不仅比第二个分数的大，第一个分数的分子、分母还分别等于第二个分数的分子、分母都加1。” 
　　…… 
　　对于学生们的回答，彭老师都点头表示赞许。 
　　“好，我们来总结一下。”彭老师一开口，教室里立刻安静了下来。大家都目不转睛地盯着彭老师，要瞧瞧彭老师怎么揭开这道题的神秘面纱。 
　　“如果我们记 ， ，并且约定 ， ，那么 和 的大小关系是——” 
　　“ ！” 
　　“ 和 可以用 ， 表示吗？” 
　　“可以！ ， 。”同学们几乎是异口同声。 
　　“那么 和 谁大谁小？” 
　　同学们恍然大悟，又开始奋笔疾书了。 
　　不一会儿，就听到好多同学那兴奋的呼喊—— 大！ 大！ 
　　“谁来说说这是为什么呢？” 
　　“我来，我来”，一位男生抢着站了起来，“老师，作差就可以了， 通分整理得到的最后结果是 ，因为 ，所以这个式子是正的，则 ”。 
　　“很好！请坐。趁热打铁，利用刚才的思路，大家能快速比较出 与 的大小吗？” 
　　这两个分数真像是一对孪生兄弟，分子分母全是1，并且在 的分子、分母上分别“加”1就是 了！但该怎么用数学语言来表达呢？ 
　　学生的思维是广阔的，过了一会儿，这道小题也被同学们识破了： 
　　 。 
　　“太妙了！通过这两个例子，大家有什么收获？” 
　　“遇题先观察，不要盲目地去计算。” 
　　“那遇事呢？” 
　　【精彩故事】 
　　男孩喜欢上了女孩。 
　　他向她表白，女孩的爸妈不同意。 
　　原因很简单：女孩比男孩整整大一岁。 
　　一天，男孩、女孩约好时间和地点，两人偷偷见面了。 
　　女孩点了一杯咖啡，尝了尝说：“这咖啡太苦了。人们都说爱情是甜美的，我怎么品尝不出爱的滋味。” 
　　男孩说：“别着急，加点糖试试吧！” 
　　女孩问：“为什么加糖会变甜呢？” 
　　男孩沉默不语。 
　　男孩喊来服务员，又点了一杯咖啡，并叮嘱多放点糖。 
　　咖啡端来了，男孩往女孩的杯子里倒了一些，摇了摇，让女孩再尝尝。 
　　“还苦吗？”男孩问。 
　　“现在好多了！”女孩说着露出了一丝微笑。 
　　男孩望着女孩，深情地说：“我1个月大时，你13个月，你是我的13倍；我2个月大时，你14个月，你是我的7倍；我1岁大时，你2岁，你是我的两倍。只要你愿意和我永远在一起，我们总在慢慢接近……” 
　　女孩感动得热泪盈眶，两人的手紧紧地握在了一起。 
　　多么可爱的男孩，不仅懂爱情，还懂数学。男孩和女孩的故事读来让人不禁潸然泪下。下面还是对男孩的“表白”做一简要分析：设男孩的年龄为 （这里我们以月为单位），女孩的年龄为 ，则 。当 时， ， ；一个月后， 与 都增加了1， ， ，则 ；又过了十个月， 与 又增加了10， ， ，则 。于是 ，即随着岁月的推移， 会越来越小，也即男孩与女孩的年龄在不断地接近。 
　　仔细品味男孩的最后一句话，发现这其中还蕴含着极限的思想：不论开始的时候 比 大多少，只要你愿意和我在一起，那么经过足够长的时间，我们的年龄差，相比于我们一起走过的风风雨雨，又算得了什么呢？终会变得微乎其微，可以忽略不计，用数学的语言说来就是 。 
　　那为什会有 ，这其中的数学原理又是什么呢？ 
　　今天给大家介绍的主角——“糖水不等式”终于要登场了。 
　　【不等式介绍】 
　　 克糖水中有 克糖（ ），则糖的质量与糖水质量的比为 。若再添加 克糖（ ），则糖的质量与糖水质量的比为 。生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解之后，糖水会变甜，则 。于是提炼出一个不等式： 
　　若 ， ，则 ，（1） 
　　这便是“糖水不等式”的由来。 
　　假设有一种机器可以抽取出糖水中的糖，生活常识告诉我们：若把糖水中的糖抽掉 克，则糖水会变淡。于是提炼出一个不等式： 
　　若 ，则 ，（2） 
　　其实完全不必假设，只需逆向思维一下就可得到。这便是思维的厉害之处：事情不必真实发生，在脑子里想一下就发生了。 
　　综合（1）、（2）得到不等式链： 
　　若 ，则 。（3） 
　　我们假想有 杯（这里 不必为整数）相同的糖水，混合后糖的质量与糖水质量的比为 ，重复上面的思维过程便得到更一般的不等式链： 
　　若 ， ， ，则 ，（4） 
　　当 时，便回到了（3）式。 
　　上面考虑的都是相同的糖水，假设现在有两杯浓度不同的糖水，一杯较浓、一杯较淡，现将这两杯糖水混合，所得糖水的浓度一定比浓的淡、比淡的浓，由此可以提炼出如下的不等式链： 
　　若 ， ，且 ，则 。（5） 
　　假设两种浓度的糖水分别有 、 杯，混合后又可提炼出不等式链： 
　　若 ， ， ，且 ，则 ，（6） 
　　当 时，便回到了（5）式。 
　　思维的翅膀还在不断地飞翔…… 
　　白水里加糖，变甜了；糖水里加数学，变得有味儿了！正可谓： 
　　一杯白开水，加糖更甜美； 
　　此中有数学，请君细品味。 
　　谁料小小的一杯糖水，竟蕴藏了如此多的数学知识！ 
　　【趣味案例】 
　　一个简单的不等式，经过生活中实际背景的洗礼，就会变得趣味曼妙起来。 
　　案例1：在 升煤油中加入 升水，液体的密度明显变大了。 
　　案例2： 克某溶液中溶有 克某物质，若再加入 克该物质后完全溶解，则溶质的质量分数显然增加了。 
　　案例3：正值开学之际，某中学原计划招收高一新生 人，使全校学生总数达到 人，这样高一新生所占的比例为 。现为了扩大办校规模，决定高一扩招 人，则高一新生所占比例变为 ，问扩招后高一新生所占比例是变大还是变小了？ 
　　案例4：一只口袋里装有3个红球和7个白球。从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少？再向口袋里放入2个红球，则从口袋里任意摸出一个球，恰好是红球的概率是多少？若再放入3个红球呢？随着红球的不断放入，这个概率怎么变化？ 
　　案例5：在中国，8和汉字“发”谐音，取发财、发达之意，被称为吉祥数，因此含有数字8的车牌号、手机号和QQ号显得很珍贵，甚至还需花高价去买。中国举办奥运会，时间就是2008年8月8日8点8分。好像希望8越多越好。 
　　我们发现下面一串数字是越来越接近8的： ， ， ，……。 
　　     
　　【案例分析】 
　　案例1：设煤油的密度为 （ ），则由（1）式知 。 
　　案例2：溶质的质量分数原来为 ，后来为 ，由（1）式知增加了。 
　　案例3：由（1）式知 ，即扩招后高一新生所占的比例变大了。 
　　案例4：由古典概型定义知，从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率 ；再放入2个红球，概率变为 ；若再放入3个红球，概率为 。由（1）式知 ，这由生活常识也是显见的，而且随着红球的不断放入，这个概率会越来越大，最终趋向于1。 
　　案例5：由（6）式知 ， ， ，……，故数字串 ， ， ，……是逐渐减小的，又容易验证 （ ），故总有 ，于是数字串越来越接近于8。 
　　【不等式证明】 
　　（1）至（6）式的证明方法有很多，如作差法、作商法、分析法、综合法、反证法、增量法、 构造函数法、定比分点公式法等等，这里不再赘述，仅提供一些无字证明。更多的证法参考《你能成为最好的数学教师》（任勇，华东师范大学出版社，2010）。 
　　 的无字证明： 
　　     
　　     
　　 的无字证明： 
　　 
　　【不等式应用】 
　　    例1：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比例越大，住宅的采光条件越好。请问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变差了？ 
　　解：设住宅原来的窗户面积和地板面积分别为 ，同时增加的面积为 ，则问题转化为在约束条件 及 下，比较 与 的大小，由（1）式知 ，知采光条件变好了。 
　　例2：请写出 与 之间的所有分母不大于10的分数。 
　　解：这有何难！按分母大小一一写来就是 ； ； ； ； ； ； ； （注意去除重复的分数）。但用糖水不等式写来亦别有一番趣味： 
　　 ， ， ，仿此继续下去，便得所有： 
　　 。 
　　例3：用糖水不等式证明基本不等式：如果 ，则 ，当且仅当 时等号成立。 
　　    证明：不妨设 ，取 ，于是有 
　　 ， 
　　所以 ，化简即 。其中等号成立的条件是当且仅当 或 ，即 。 
　　例4：已知 ，求证： 。 
　　链接：该问题源自1998年全国高考压轴题的第（Ⅱ）问，原题以数列为背景知识，最终转化为要证明上述不等式，而当时是用数学归纳法证的，其实用“糖水不等式”来证更容易。 
　　证明：记 ，则有 及 ，以上三式相乘，注意约分的规律就得 ，即 ，得证。 
　　例5：证明不等式： 
　　 ， 
　　其中所有的字母都是正数。 
　　    链接：此题是波兰数学家斯坦因豪斯的著作《一百个数学问题》中的第12个，原解答先证明了一个预备定理，较为繁琐。下面运用“糖水不等式”给出简证。 
　　证明： 易知 
　　 ， 
　　 ， 
　　两式相加即可得证。 
　　例6：现有一张表格，请你在前面两个格子里随便填上两个1到10之间的整数，别让我看到你填的数字！请你把两个数的和填入第三格，再把第二格和第三格数字的和填入第四格，再把第三格和第四格数字的和填入第五格，依此类推，在每个方格里填入前两个方格里的数字之和，举个例子吧： 
　　3 7 10 17 27 44 71 115 186 301 487 
　　好了，请你告诉我第10格是什么数，我就一定能猜对第11格里的数，虽然我不知道第1格和第2格是什么数，也不知道第9格是什么数。你知道我是怎么猜到的吗？你能解释其中的奥秘吗？ 
　　解：假设你最初在纸上写下的两个数分别为 和 ，则这11个方格里的数分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。那么第10格里的数和第11格里的数有什么关系呢？ 
　　由（6）式知 ，即约为 ，则 。如果 和 都不太大，用 的值除以 ，四舍五入就可得到第11格里的数字啦！而且这个方法是相当靠谱的！ 
　　【思维点拨】 
　　1.糖水不等式—— 也可理解为真分数的性质：对于真分数 ，分子、分母同时加上一个正数 ，那么该分数会变大，而且所加的数 越大，分数就越大，最终趋向于1。 
　　2.对糖水不等式取倒数就得到 ，这可理解为假分数的性质：对于假分数 ，分子、分母同时加上一个正数 ，那么该分数会变小，而且所加的数 越大，分数就越小，最终趋向于1。 
　　3.利用糖水实验不仅可以得到糖水不等式，还能发现更多有趣的结论，如合分比定理：有两个杯子，大杯子里的水是小杯子的2倍。我们往杯子里加糖，大杯子里加2块糖，小杯子里加一块糖。可以想象，这两杯糖水是一样甜的。如果这时候，把这两杯糖水都倒入一个更大的容器中，混合之后的糖水也应该和原来的糖水一样甜。原因就是 ，这说明合分比定理也是来源于生活的。 
　　4.现有4杯糖水，第一杯糖水中糖的质量与糖水质量的比为 ，第二杯的为 ，第三杯的为 ，第四杯的为 ，而且 ，即第一杯糖水比第二杯浓，第三杯糖水比第四杯浓。现将第1、3杯糖水混合到甲杯中，第2、4杯糖水混合到乙杯中，那么请判断甲杯中糖水浓还是乙杯中糖水浓？这样的问题在现实生活中也能碰到： 
　　一班有女生22人，喜欢写作的有10人；男生21人，喜欢写作的有9人。二班有女生15人，喜欢写作的有10人；男生28人，喜欢写作的有18人。 
　　对于一班而言，女生更喜欢写作，因为 。 
　　对于二班而言，同样是女生更喜欢写作，因为 。 
　　于是我们可以得出，女生更喜欢写作，看起来这个结论是很靠谱的！ 
　　甲：是的，女生本来就喜欢写作！ 
　　乙：且慢，如果把这两个班合在一起考虑，却是 ，男生更喜欢写作！ 
　　☆这说明：如果 ，则有 ；但若是 ， ，却未必有 。

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