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内容简介

《现代物理基础丛书·典藏版：物理学家用微分几何（第二版）》是为物理学家写的一本微分几何，是在1990年版的基础上，进行修订补充，将原版14章扩充到了23章。《现代物理基础丛书·典藏版：物理学家用微分几何（第二版）》分为三部分：*部分介绍流形微分几何，是理论物理研究生教学的基本内容，介绍了流形、流形上张量场、仿射联络与曲率以及流形上度规、辛、复、自旋等重要几何结构。第二部分介绍纤维丛几何，介绍了示性类与A-S指标定理，深入分析量子规范理论的大范围拓扑性质、各级拓扑障碍、瞬子、单极、分数荷与超对称等现代物理前沿问题。第三部分介绍非交换几何及其在量子物理中的应用、量子群与q规范理论。
　　《现代物理基础丛书·典藏版：物理学家用微分几何（第二版）》适合物理学专业研究生以及从事理论物理的科学工作者阅读。

目　　录

第一部分流形微分几何
第一章流形微分流形与微分形式
1.1流形流形的拓扑结构
1.2微分流形流形的微分结构
1.3切空间与切向量场
1.4余切向量场
1.5张量积与流形上高阶张量场
1.6Cartan外积与外微分微分形式
1.7流形的定向流形上积分与Stokes公式
习题一
第二章流形的变换及其可积性李变换群及李群流形
2.1流形间映射及其诱导映射正则子流形
2.2局域单参数李变换群李导数
2.3积分子流形Frobenius定理

第一部分流形微分几何 第一章流形微分流形与微分形式 1.1流形流形的拓扑结构 1.2微分流形流形的微分结构 1.3切空间与切向量场 1.4余切向量场 1.5张量积与流形上高阶张量场 1.6Cartan外积与外微分微分形式 1.7流形的定向流形上积分与Stokes公式 习题一 第二章流形的变换及其可积性李变换群及李群流形 2.1流形间映射及其诱导映射正则子流形 2.2局域单参数李变换群李导数 2.3积分子流形Frobenius定理 2.4用微分形式表达的Frobenius定理微分方程的可积条件 2.5李群流形 2.6李变换群齐性G流形 2.7不变向量场李代数指数映射 习题二 第三章仿射联络流形 3.1活动标架法流形切丛与标架丛 3.2仿射联络与协变微分 3.3曲率形式与曲率张量场 3.4测地线方程切丛联络的挠率张量 3.5协变外微分算子 3.6联络的和乐群 习题三 第四章黎曼流形 4.1黎曼度规与黎曼联络 4.2黎曼流形上微分形式 4.3黎曼曲率张量Ricci张量与标曲率 4.4等长变换与共形变换曲率张量按转动群表示的分解 4.5截面曲率等曲率空间 4.6爱因斯坦引力场方程 4.7正交标架场与自旋联络时空规范理论初步 4.8测地线Jacobi场与Jacobi方程 习题四 第五章欧空间的黎曼子流形正交活动标架法 5.1黎曼流形的子流形诱导度规与诱导联络 5.2n维欧空间En的子流形正交活动标架法 5.3三维欧空间E3中曲线与曲面 5.4用Cartan活动标架法计算黎曼曲率 5.5伪球面与Backlund变换 5.6测地线与局域法坐标系 习题五 第六章齐性黎曼流形对称空间 6.1李群的黎曼几何结构 6.2齐性黎曼流形 6.3对称空间与局域对称空间 6.4对称空间的代数结构（G，H，σ）三元组非线性实现 6.5非线性σ模型对偶对称与孤子解 6.6非局域守恒流隐藏对称性的Noether分析 习题六 第七章流形的同伦群与同调群 7.1同伦映射及具有相同伦型的流形 7.2流形的基本群多连通空间的覆盖空间 7.3流形的各阶同伦群πk（M）（k∈N） 7.4相对同伦群与群同态正合系列纤维映射正合系列 7.5同调群Hk（M，Z） 7.6—般同调群Hk（M，G） 7.7同伦群与同调群关系n维球面Sn的各阶同伦群 习题七 第八章上同调论deRham上同调论及其他相关伦型不变量 8.1上同调论对偶同态与对偶链群 8.2链复形与链映射同调正合系列 8.3相对（上）同调群切除定理与Mayer—Vietoris（上）同调序列 8.4若干群流形各阶同调群Poincare多项式 8.5deRham上同调论 8.6谐和形式Harmk（M，R） 8.7李群流形上双不变形式对称空间上不变形式 习题八 第九章Morse理论CW复形与拓扑障碍分析 9.1CW复形 9.2Morse函数与Morse不等式 9.3路径空间Ω（M）的伦型Morse理论基本定理 9.4若干齐性空间的稳定同伦群U群的Bott周期 9.5正交群与辛群的Bott周期 9.6拓扑障碍与示性类Stiefel—Whitney类 9.7Cech（上）同调拓扑性质对几何结构的影响 习题九 第十章辛流形切触流形 10.1辛流形（M，ω） 10.2辛向量场与哈密顿向量场泊松括弧 10.3泊松流形与辛叶Schouten括弧 10.4辛流形的子流形 10.5齐性辛流形与约化相空间动量映射 10.6切触流形（M，η） 习题十 第十一章复流形 11.1复流形及其复结构近复结构与近复流形（M，J） 11.2近复结构可积条件Nijenhuis张量 11.3近辛流形上近复结构近厄米流形（M，ω，J） 11.4厄米流形（M，H） 11.5厄米流形上仿射联络 11.6Kahler流形 11.7Kahler—Einstein特殊Kahler流形及紧Kahler流形的Hodge分解定理 习题十一 第十二章旋量自旋流形 12.1旋量 12.2时空的Lorentz变换与自旋变换旋量张量代数 12.3Dirac旋量Wey1旋量纯旋量各维旋量的矩阵表示结构 12.4各维旋量的表示结构Majorana表象 12.5自旋结构与自旋流形Spinc结构 12.6自旋结构的联络Dirac算子Weitzenbock公式 习题十二 第二部分纤维丛几何、规范场论 第十三章纤维丛的拓扑结构 13.1向量丛E（M，F，π，G） 13.2与矢丛E相关的各种纤维丛标架丛L（E） 13.3主丛P（M，G）与其伴矢丛E=P×GV 13.4丛射诱导丛主丛的约化 13.5纤维丛的同伦分类普适丛与分类空间 13.6矢丛的分类及K理论 习题十三 第十四章纤维丛上联络与曲率 14.1主丛P（M，G）上联络与曲率 14.2伴矢丛P×cV上联络与曲率物质场与规范场相互耦合 14.3尼秩向量丛截面上协变微分算子▽与联络算子D 14.4对偶矢丛直积丛上联络与曲率切丛联络的挠率问题 14.5平行输运与联络的和乐群G结构具特殊和乐群的联络 习题十四 第十五章示性类 15.1陈—Weil同态 15.2复矢丛与陈示性类（Chernclass） 15.3实矢丛与Pontrjagin类 15.4实偶维定向矢丛与欧拉类 15.5Stiefel—Whitney类 15.6普适丛与普适示性类H*（BG，K）各种示性类间关系 15.7次级示性类：陈—Simons形式 习题十五 …… 第十六章杨—Mills规范理论时空流形上纤维丛几何 第十七章规范理论与复几何 第十八章Atiyah—Singer指标定理 第十九章量子反常拓扑障碍的递降继承 第二十章规范轨道空间上同调与族指标定理量子场论中大范围拓扑分析 第二十一章带边流形与开无限流形指标定理APS—η不变量与分数荷问题 第三部分非交换几何导引 附录 一般参考书目 参考文献

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前　　言

《物理学家用微分几何》出版已过了十多年，这次“新版”是原书的修订补充，将原书14章扩充到目前23章。全书分三部分：流形微分几何、纤维丛几何、非交换几何。第一部分，流形微分几何，是理论物理研究生教材的基本内容，其中前三章着重介绍流形局域拓扑结构与仿射结构；介绍流形上三种重要的微分算子：外微分、李导数、协变导数，结合各种例子熟悉它们的特性与应用；介绍了关于流形，流形上张量场、微分形式、流形的变换及其可积性，仿射联络与曲率、挠率等基本概念。这三章暂未对流形引入度规。采用摆脱度量限制的可任意进行坐标变换的坐标系，使读者对流形的局域拓扑与仿射结构的实质有更清晰的认识。
　　第四，五，六三章着重介绍黎曼流形。度规是黎曼流形的基本几何结构。在第四章对流形引入度规，介绍保度规结构的黎曼联络与曲率、及其相关的各种曲率张量、测地线、Jacobi场与Jacobi方程，并初步介绍Einstein引力场方程及相关问题。第五章介绍黎曼流形的子流形，用活动标架法对流形曲率张量进行计算与分析。第六章介绍黎曼对称空间，它在理论物理及可积体系中得到广泛的应用。
　　第七，八，九三章着重介绍对流形的整体拓扑分析：同伦、同调、特别是deRham上同调及谐和形式，第九章介绍Moise理论、CW复形与拓扑障碍分析，这章内容常需更多代数拓扑与现代几何基础，读者在第一次读时可暂略去。

《物理学家用微分几何》出版已过了十多年，这次“新版”是原书的修订补充，将原书14章扩充到目前23章。全书分三部分：流形微分几何、纤维丛几何、非交换几何。第一部分，流形微分几何，是理论物理研究生教材的基本内容，其中前三章着重介绍流形局域拓扑结构与仿射结构；介绍流形上三种重要的微分算子：外微分、李导数、协变导数，结合各种例子熟悉它们的特性与应用；介绍了关于流形，流形上张量场、微分形式、流形的变换及其可积性，仿射联络与曲率、挠率等基本概念。这三章暂未对流形引入度规。采用摆脱度量限制的可任意进行坐标变换的坐标系，使读者对流形的局域拓扑与仿射结构的实质有更清晰的认识。 　　第四，五，六三章着重介绍黎曼流形。度规是黎曼流形的基本几何结构。在第四章对流形引入度规，介绍保度规结构的黎曼联络与曲率、及其相关的各种曲率张量、测地线、Jacobi场与Jacobi方程，并初步介绍Einstein引力场方程及相关问题。第五章介绍黎曼流形的子流形，用活动标架法对流形曲率张量进行计算与分析。第六章介绍黎曼对称空间，它在理论物理及可积体系中得到广泛的应用。 　　第七，八，九三章着重介绍对流形的整体拓扑分析：同伦、同调、特别是deRham上同调及谐和形式，第九章介绍Moise理论、CW复形与拓扑障碍分析，这章内容常需更多代数拓扑与现代几何基础，读者在第一次读时可暂略去。 　　第十，十一，十二三章介绍流形上三种重要的几何结构：辛、复、自旋结构，它们的存在受流形拓扑性质约束。它们在现代理论物理中有重要应用，现仍在发展中。 　　本书第二部分介绍纤维丛几何，规范场论，其中第十三，十四，十五章介绍纤维丛的拓扑结构，丛上联络与曲率，及显示丛整体拓扑非平庸的示性类，在这三章的分析中，底流形是一般微分流形，可暂未引入度规，在第十六，十七章底流形为具有度规结构的时空流形，这时可对纤维丛引入作用量，可分析场方程、守恒流等动力学体系问题。在这两章中分析讨论了瞬子、单极、超对称单极等经典规范场论中一些基本问题。 　　第十八至二十一章介绍Atiyah-Singer指标定理、族指标定理、带边流形及开无限流形的指标定理，并以量子场论反常拓扑分析为例，深入分析量子规范理论的大范围拓扑性质及各级拓扑障碍的递降继承，分析背景场拓扑性质，分数费米荷及超对称等现代理论物理前沿课题。本书第三部分：非交换几何导引。非交换几何在量子物理、经典及量子统计、量子引力及弦论等方面得到广泛应用。第二十二章介绍非交换几何在量子物理中应用，重点介绍在量子Hall效应的应用。第二十三章介绍量子群与q规范理论，它们在量子可积体系中得到广泛应用，这是一个正在发展的领域，这里仅是一初步介绍。

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物理学家用微分几何（第二版）

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