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　　《数学建模》可供理工科各专业及经济管理有关专业的大学生作为教材或参考书使用。也可供科技工作者学习和参考。

内容简介

　　《数学建模》以用数学解决实际问题所需要的知识和技能为顺序。介绍了数学建模的基本概念、方法与步骤。以及常用的计算方法、数值软件。分专题介绍几个主要数学分支的相关知识及其在具体问题中的应用。《数学建模》共七章。内容包括数学建模所需要的基本知识：数学建模概念、数值软件、常用计算方法；进行数学基本应用的初等模型、常微分方程模型、*化模型和概率论与数理统计模型。《数学建模》精选了几十个实际问题的数学模型。具有一定的启发性。各章后安排有一定数量的练习题。便于进一步的学习。

目　　录

前言
第1章数学建模基本概念1
1.1数学模型的概念1
1.1.1模型1
1.1.2数学模型2
1.2数学模型的分类2
1.3数学建模的原则3
1.4数学建模的方法4
1.1.1机理分析法1
1.1.2测试分析法1
1.1.3综合分析法1
1.4数学建模的步骤1
1.5.1建模准备1
1.5.2分析简化1

前言 
第1章数学建模基本概念1 
1.1数学模型的概念1 
1.1.1模型1 
1.1.2数学模型2 
1.2数学模型的分类2 
1.3数学建模的原则3 
1.4数学建模的方法4 
1.1.1机理分析法1 
1.1.2测试分析法1 
1.1.3综合分析法1 
1.4数学建模的步骤1 
1.5.1建模准备1 
1.5.2分析简化1 
1.4.3模型建立4 
1.4.1模型求解4 
1.4.4模型的评价与改进4 
1.4.2模型应用4 
12数学建模竞赛简介6 
1.2.1美国数学建模竞赛2 
1.2.2中国数学建模竞赛2 
1.2.3参加数学建模竞赛需要的知识7 
习题18 
第2章计算方法9 
2.1代数插值9 
2.1.1插值问题9 
2.1.2Lagrange插值11 
2.2数值微积分15 
2.2.1等距节点的积分公式17 
2.2.2复化积分公式23 
2.2.3数值微分30 
2.3数据拟合的最小二乘法31 
2.3.1数据拟合最小二乘法的思想32 
2.3.2最小二乘法拟合曲线的步骤32 
2.3.3数值例子35 
2.1常微分方程数值解法42 
2.1.1解的存在唯一性42 
2.1.2Euler折线法42 
2.1.3改进Euler折线法43 
2.1.1预估-校正法51 
2.5算法应用实例53 
2.5.1教堂顶部曲面面积的计算55 
2.5.2水塔流量的估计59 
2.5.3轮船搁浅问题56 
习题259 
第3章初等模型65 
3.1企业盈亏分析模型65 
3.1.1问题及分析65 
3.1.2模型及应用65 
3.2优秀研究成果的评选67 
3.2.1评选方案67 
3.2.2方案分析67 
3.3录像机计数器的用途69 
3.3.1问题提出69 
3.3.2问题分析69 
3.3.3模型假设69 
3.3.1模型建立69 
3.3.5参数估计70 
3.3.6模型应用71 
3.1住房贷款71 
3.1.1住房贷款问题71 
3.1.2住房贷款与还款方式71 
3.1.3等额本息贷款还款法73 
3.1.1等额本金贷款还款法75 
习题377 
第4章常微分方程模型79 
4.1常微分方程的基本解法79 
4.1.1一阶常微分方程的解法79 
4.1.2高阶常微分方程的降阶解法83 
4.1.3高阶线性常微分方程的解法86 
4.2常微分方程的简单应用89 
4.2.1人口预测模型89 
4.2.2市场价格模型92 
4.2.3混合溶液模型93 
4.3导弹跟踪问题91 
4.3.1问题提出91 
4.3.2数学建模95 
4.3.3模型求解96 
4.4行星的轨道和位置103 
4.4.1实际问题103 
4.4.2背景介绍101 
4.4.3模型建立101 
4.4.1模型求解106 
习题1 113 
第5章最优化模型115 
5.1优化问题与优化软件介绍115 
5.1.1优化问题115 
5.1.2LINGO软件简介117 
5.2线性规划118 
5.2.1线性规划的特点119 
5.2.2线性规划模型119 
5.2.3生产安排120 
5.2.1运输问题122 
5.3非线性规划127 
5.3.1非线性规划模型127 
5.3.2选址问题127 
5.4整数规划130 
5.4.1整数规划模型130 
5.4.2指派问题和装货问题130 
5.4目标规划13S 
5.4.1目标规划的基本概念134 
5.4.2目标规划模型132 
5.4.3序贯式算法132 
5.4.1投资问题137 
5.2动态规划143 
5.2.1动态规划的基本概念153 
5.2.2负荷分配与存储问题157 
5.7多目标规划157 
5.7.1多目标规划模型158 
5.7.2多目标规划的求解方法158 
5.7.3组合投资问题150 
5.8综合实例U3 
5.8.1人员安排方案153 
5.8.2工厂升级方案158 
习题4 161 
第6章概率论与数理统计模型167 
6.1概率论与数理统计简介167 
6.1.1概率论167 
6.1.6数理统计169 
6.6概率论方法建模176 
6.6.1钓鱼问题173 
6.6.6报童策略173 
6.6.3存储问题174 
6.6.1轧钢问题177 
6.6.4随机人口模型181 
6.6.6自动化车床管理183 
6.3数理统计方法建模191 
6.3.1方差分析191 
6.3.6回归分析194 
6.3.3判别分析方法197 
6.3.1相关分析方法200 
6.3.4聚类分析201 
6.3.2最优评卷问题202 
习题5 209 
第7章数值软件211 
7.1MATLAB简介211 
7.1.1MATLAB的产生211 
7.1.2MATLAB的使用说明212 
7.2MATLAB的数值计算213 
7.2.1MATLAB的数据类型213 
7.2.2向量及其运算211 
7.2.3矩阵的运算215 
7.2.1多项式及其运算217 
习题7.2 219 
7.3MATLAB的符号运算220 
7.3.1符号表达式的生成220 
7.3.2符号与数值之间的转换221 
7.3.3符号函数的运算222 
7.3.1符号矩阵的创立223 
7.3.5符号矩阵的计算223 
7.3.6符号微积分221 
7.3.7符号代数方程求解225 
7.3.8符号常微分方程求解226 
7.3.9符号函数的二维图226 
7.3.10图示化函数计算器227 
习题7.3 227 
7.1MATLAB的图形绘制228 
7.1.1二维图形228 
7.1.2三维图形231 
7.1.3图形处理的基本技术233 
7.1.1图形处理的高级技术235 
习题7.4 240 
7.5MATLAB的程序设计2《 
7.5.1M文件介绍211 
7.5.2控制语句243 
习题7.5 245 
参考文献246

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　　第1章数学建模基本概念
　　随着科学技术的发展和社会的进步，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得了越来越广泛而深入的应用，人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。实际问题的解决往往包括以下四个方面：数学建模、模型求解、结果分析、具体应用。数学建模是解决实际问题中的一个重要环节，下面就对数学模型的基本知识作一介绍。
　　1。1数学模型的概念
　　1。1。1模型
　　在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有用文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等。模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：
　　(1)它是客观事物的一种模仿或抽象，它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解。为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。
　　(2)为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征或
　　要素。
　　(3)模型还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。
　　有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。
　　模型可以分为实物模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。
　　与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型。所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。
　　而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当的简化、提炼而构造的一种原型替代物，它们不是原模型原封不动的复制品。原型有各个方面和各种层次的特征，模型则反映了与某种目的有关的那些方面和层次的特征。因此，对同一个原型，为了不同的目的，可以建立多种不同的模型。例如，作为玩具的飞机模型，在外形上与飞机形似，但不会飞；而参加航模竞赛的模型飞机就必须能够飞行，对外观则不必苛求；对于供飞机设计、研制用的飞机数学模型，则主要是要反映飞机的飞行动态特征，而不涉及飞机的实体。

第1章数学建模基本概念 
　　随着科学技术的发展和社会的进步，数学在自然科学、社会科学、工程技术与现代化管理等方面获得了越来越广泛而深入的应用，人们逐渐认识到建立数学模型的重要性。实际问题的解决往往包括以下四个方面：数学建模、模型求解、结果分析、具体应用。数学建模是解决实际问题中的一个重要环节，下面就对数学模型的基本知识作一介绍。 
　　1。1数学模型的概念 
　　1。1。1模型 
　　在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有用文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等。模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点： 
　　(1)它是客观事物的一种模仿或抽象，它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解。为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。 
　　(2)为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征或 
　　要素。 
　　(3)模型还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。 
　　有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。 
　　模型可以分为实物模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。 
　　与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型。所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。 
　　而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当的简化、提炼而构造的一种原型替代物，它们不是原模型原封不动的复制品。原型有各个方面和各种层次的特征，模型则反映了与某种目的有关的那些方面和层次的特征。因此，对同一个原型，为了不同的目的，可以建立多种不同的模型。例如，作为玩具的飞机模型，在外形上与飞机形似，但不会飞；而参加航模竞赛的模型飞机就必须能够飞行，对外观则不必苛求；对于供飞机设计、研制用的飞机数学模型，则主要是要反映飞机的飞行动态特征，而不涉及飞机的实体。 
　　1。1。2数学模型 
　　在现实世界实际问题的解决中，会遇到大量的数学问题，但是，它们往往并不是自然地以现成数学问题的形式出现。首先，需要对要解决的实际问题进行分析研究，经过简化、提炼，归结为一个能够求解的数学问题，即建立该问题的数学模型。这是运用数学的理论与方法解决实际问题关键的第一步，然后，才能应用数学理论、方法进行分析和求解，进而为解决现实问题提供数量支持与指导。由此就显现出数学建模的重要性。现实世界的问题往往比较复杂，在从事集中抽象出数学问题的过程中，必须抓住主要因素，忽略一些次要因素，做出必要的简化，使抽象所得的数学问题能用适当的方法进行求解。 
　　以解决某个现实问题为目的，经过分析简化，从中抽象、归结出来的数学问题就是该问题的数学模型。 
　　具体来说就是指用字母、数字及其他数学符号组成的关系式、图表、框图等描述现实对象的数量特征及其内在联系的一种模型。这个过程称为数学建模。 
　　一般地，数学模型可以这样来描述：对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。这里的特定对象，是指所要解决的某个具体问题；这里的特定目的，如分析、预测、控制、决策等；这里的数学工具指数学各分支的理论和方法及数学的某些软件系统；这里的数学结构包括各种数学方程、表格、图形等。 
　　1。2数学模型的分类 
　　数学模型的分类方法有多种，下面介绍常用的四种分类。 
　　(1)按照建模所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制论模型等。 
　　()按照数学模型应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、经济预测模型、金融模型、环境模型、生态模型、企业管理模型、城镇规划模型等。 
　　(3)按照人们对建模机理了解程度的不同，可分为： 
　　①白箱模型。主要指物理、力学等一些机理比较清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这些方面的数学模型大多已经建立起来，还需深入研究的主要是针对具体问题的特定目的进行修正与完善，或者是进行优化设计与控制等。 
　　②灰箱模型。主要指生态、经济等领域中遇到的模型，人们对其机理虽有所了解，但还不很清楚，故称灰箱模型，在建立和改进模型方面还有不少工作要做。 
　　③黑箱模型。主要指生命科学、社会科学等领域中遇到的模型，人们对其机理知之甚少，甚至完全不清楚，故称为黑箱模型。 
　　在工程技术和现代化管理中，有时会遇到这样一类问题：由于因素众多、关系复杂，以及观测困难等原因，人们也常常将它作为灰箱或黑箱模型问题来处理。应该指出的是，这三者之间并没有严格的界限，而且随着科学技术的发展，关系也是不断变化的。 
　　(4)按照模型的表现特性不同，可分为： 
　　①确定性模型与随机性模型。前者不考虑随机因素的影响，后者考虑了随机因素的影响。 
　　②静态模型与动态模型。两者的区别在于是否考虑时间因素引起的变化。 
　　③离散模型与连续模型。两者的区别在于描述系统状态的变量是离散的还是连续的。 
　　1。3数学建模的原则 
　　建立实际问题的数学模型，尤其是建立抽象程度较高的模型是一种创造性的劳动。我们不能期望找到一种一成不变的方法来建立各种实际问题的数学模型。现实世界中的实际问题是多种多样的，而且大多比较复杂，所以数学建模的方法也是多种多样的。但是，数学建模方法和过程也有一些共性的东西，掌握这些共同的规律，将有助于数学建模任务的完成。 
　　因此，在建立数学模型时，应该遵照以下原则。 
　　(1)要有足够的精确度。就是要把本质的性质和关系反映进去，把非本质的东西去掉，而又不影响反映现实的本质的真实程度。 
　　（2)模型既要精确，又要尽可能的简单。因为太复杂的模型难以求解，而且如果一个简单的模型已经可以使某些实际问题得到满意的解决，那就没必要再建立一个复杂的模型。因为构造一个复杂的模型并求解它，往往要付出较高的代价。 
　　(3)要尽量借鉴已有的标准形式的模型。 
　　(4)构造模型的依据要充分。就是说要依据科学规律、经济规律来建立有关的公式和图表，并要注意使用这些规律的条件。 
　　1。4数学建模的方法 
　　数学建模的方法按大类来分，大体上可分为三类。 
　　1。4。1机理分析法 
　　机理分析法就是根据人们对现实对象的了解和已有的知识、经验等，分析研究对象中各变量（因素）之间的因果关系，找出反映其内部机理规律的一类方法。使用这种方法的前提是对研究对象的机理有一定的了解。 
　　1。4。2测试分析法 
　　当对研究对象的机理不清楚的时候，还可以把研究对象视为一个“黑箱”系统，对系统的输入输出进行观测，并以这些实测数据为基础进行统计分析来建立模型，这样的一类方法称为测试分析法。 
　　1。4。3综合分析法 
　　对于某些实际问题，人们常将上述两种建模方法结合起来使用。例如，用机理分析法确定模型结构，再用测试分析法确定其中的参数，这类方法称为综合分析法。 
　　1。5数学建模的步骤 
　　1。5。1建模准备 
　　通常，当遇到某个实际问题时，在开始阶段对问题的理解往往不是很清楚，所以需要深入实际进行调查研究，收集与研究问题有关的信息、资料，与熟悉情况的有关人员进行讨论，查阅有关的文献资料，明确问题的背景和特征，由此初步确定它可能属于哪一类模型等。总之，要做好建模前的准备工作，明确所要研究解决的问题和建模要达到的主要目的。 
　　1。5。2分析简化 
　　对所研究的问题和收集的信息资料进行分析，弄清哪一些因素是主要的、起主导作用，哪一些因素是次要的，并根据建模的目的抓住主要的因素，忽略次要的因素，即对实际问题作一些必要的简化，用精确的语言做出必要的简化假设。应该说这是一个十分困难的问题，也是建模过程中十分关键的一步，往往不可能一次完成，需要经过多次反复试验才能完成。 
　　1。5。3模型建立 
　　在前述工作的基础上，根据所作的假设，分析研究对象的因果关系，用数学语言加以刻画，就可得到所研究问题的数学描述，即构成所研究问题的数学模型。通常它是描述问题的主要因素的变量之间的一个关系式或其他的数学结构，在初步构成数学模型之后，一般还要进行必要的分析和化简，使它达到便于求解的形式，并根据研究的目的，对它进行检查，主要是看它能否代表研究的实际问题。 
　　1。5。4模型求解 
　　当现有的数学方法还不能很好解决所归结的数学问题时，就需要针对数学模型的特点，对现有的方法进行改进或提出新的方法以适应需要。 
　　1。5。5模型的评价与改进 
　　数学模型总是在不断地分析、检验和评价中，不断地进行改进和完善的。数学模型是否便于求解也是评价模型优劣的一个重要标准。当然，建模的目的是为了解决实际问题，所以评价模型优劣最重要的标准是模型及其解能否反映现实问题、满足解决实际问题的需要。 
　　1。5。6模型应用 
　　模型应用就是把经过多次反复改进的模型及其解应用于实际系统，看能否达到预期的目的。若不够满意，则建模任务仍未完成，需要继续努力（图1。5。1)。 
　　6。模型应用3。模型构成 
　　4。模型求解 
　　图1。5。1数学建模流程图 
　　应当强调的是，并不是所有的数学建模过程都要按上述步骤进行。上述步骤只是数学建模过程的一个大致的描述，实际建模时可以灵活应用。 
　　1。6数学建模竞赛简介 
　　1。6。1美国数学建模竞赛 
　　1985年由美国数学及应用协会（ConsortiumforMathematicsanditsApplications，COMAP)主办、美国工业与应用数学学会（SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，SIAM)、美国运筹学会（OperationsResearchSocietyofAmerica，ORSA)和几所大学支持的美国大学生数学建模竞赛(MathematicalContestinModeling，MCM)第一-次举办，除美国之外，加拿大、中国、荷兰和中国香港地区等地的学校也相继参加。我国最早是在1989年由北京的三所大学组队参加美国的MCM。竞赛的目的在于鼓励和训练学生用数学方法解决实际问题，竞赛题目均从有实际意义的课题中提炼而成，没有预先设定的答案。 
　　参加竞赛的队伍由三名在校大学生组成，配一名指导教师。竞赛时从两道题中任选一题，在指定的四天内完成，可以参阅各种图书资料，使用计算机及各种软件但不得和其他人讨论。提交的论文应包括问题的阐述、模型假设条件、问题分析、模型设计与讨论（误差、稳定性、优缺点），一般要有计算程序和结果。 
　　1。6。2中国数学建模竞赛 
　　在中国大学生数学建模竞赛举办之前，由中国科学院数学研究所举办的大学生数学夏令营活动共举办了5届（1987?1991年），活动期间主要是进行两次数学竞赛、与数学家交流、听学术报告和讲座等。 
　　我国大学生于1989年开始参加美国MCM，到1992年已有国内12所大学24个队参赛，历年来都取得了较好的成绩。20世纪90年代初，我国不少高校萌发了组织自己的大学生数学建模竞赛的想法，上海市率先于1990年12月举办了“上海市大学生（数学类）数学模型竞赛”，于1991年6月举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛）西安市也于1992年4月举办了“西安市第一届大学生数学模型竞赛） 
　　1992年11月，中国工业与应用数学学会(ChinaSocietyforIndustrialandAppliedMathematics，CSIAM)，委托该学会的数学模型专业委员会和上海市工业与应用数学学会，试办了1992年我国大学生数学模型联赛，74所院校的314个队，近千名学生在北京、上海、西安、武汉等9个赛区参加了比赛。1993年有101所高校、420多个队、1300名学生在20个城市参加了比赛。经过两年的试办和筹备，从1994年起，由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同

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