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读人群：《趣味*问题》适合高中以上文化程度的学生、教师、科技工作者和数学爱好者使用。
“好玩的数学”丛书自2004年10月出版以来，受到广大读者欢迎和社会各界的广泛好评，各分册先后重印10余次，平均发行量近45000套，被认为是一套叫好又叫座的科普图书。丛书致力于多个角度展示了数学的“好玩”，将现代数学和经典数学中许多看似古怪、实则富有深刻哲理的内容**限度地通俗化，努力使读者“知其然”并“知其所以然”；尽可能地把数学的好玩提升到了更为高雅的层次，让一般读者也能领略数学的博大精深。
丛书于2004年获科学时报杯“科学普及与科学文化**丛书奖”，2008年又被国家新闻出版总署列为“向全国青少年推荐的百种优秀图书”之一，2009年荣获“国家科学技术进步奖二等奖”。但对于作者和编者来说，**的奖励莫过于广大读者的喜爱关心。十年来，收到不少热心读者提出的意见和修改建议，数学研究领域和科普领域也都有了新的发展，大家感到有必要对书中的内容进行更新和补充。要感谢各位在耄耋之年仍俯首案牍、献身科普事业的作者，他们热心负责地对自己的作品进一步加工，在“好玩的数学（普及版）”的基础上进行了修订和完善。

内容简介

《趣味*问题》分为概率论、数理统计、*过程三部分，每部分包含若干个趣味问题。其中有分赌注问题、巴拿赫火柴盒问题、波利亚坛子问题、巴格达窃贼问题、赌徒输光问题、群体（氏族）灭绝问题等历史名题，也有许多介绍新内容、新方法的问题。《趣味*问题》内容有趣，应用广泛。能启迪读者的思维，开阔读者的视野，增强读者的提出问题、分析问题与解决问题的能力。

目　　录

丛书修订版前言
第一版总序
前言
01概率论篇1
1.1全是不可测集惹的麻烦1
1.2概率概念的完善3
1.3三个孩子都是女孩的概率8
1.4有限不放回抽样10
1.5几次试开能打开大门11
1.6常见离散型分布的背景12
1.7哪个概率大14
1.8分赌注问题16
1.9是否接收这批产品24
1.10抓阄25

丛书修订版前言 第一版总序 前言 01概率论篇1 1.1全是不可测集惹的麻烦1 1.2概率概念的完善3 1.3三个孩子都是女孩的概率8 1.4有限不放回抽样10 1.5几次试开能打开大门11 1.6常见离散型分布的背景12 1.7哪个概率大14 1.8分赌注问题16 1.9是否接收这批产品24 1.10抓阄25 1.11最后摸出黑球的概率有多大27 1.12选举定理及其应用28 1.13剩下全是黑球的可能性30 1.14与摸球是否放回无关31 1.15整除的概率32 1.16抽牌游戏33 1.17点子多赢33 1.18先出现的赢35 1.19摸到奇数个球的概率37 1.20取数游戏38 1.21全取到为止40 1.22第m个小的那个数42 1.23两次取出的数字都不相同43 1.24下赌注问题44 1.25连续出现的概率46 1.26巴拿赫(Banach)火柴盒问题46 1.27波利亚(Polya)坛子问题47 1.28鞋子配对49 1.29信封与信配对50 1.30手套配对51 1.312n根小棒两两配对52 1.32接草成环53 1.33男女配对54 1.34丈夫总在妻子的后面54 1.35夫妻相邻就坐55 1.36确诊率问题56 1.37人寿保险问题56 1.38如何追究责任58 1.39系统可靠性问题59 1.40生日问题61 1.41盒子数不超过球数的放球问题63 1.42座位问题65 1.43放球次数问题65 1.44最小最大球数问题66 1.45下电梯问题67 1.46上火车问题68 1.47球不可辨的放球问题68 1.48蒲丰(Buffon)投针问题70 1.49会面问题71 1.50不需要等待码头空出问题72 1.51 3段小棒构成三角形问题73 1.52圆周上3点构成钝角三角形问题74 1.53两点之间的距离75 1.54独立性76 1.55永远年轻81 1.56最大可能值83 1.57再生性87 1.58最少进货量87 1.59化验血清的次数89 1.60乘客等车(浪费的)时间90 1.61巴格达窃贼(矿工脱险)问题91 1.62虫卵数问题92 1.63积分的计算93 1.64维尔斯特拉斯定理的大数定律证明94 1.65蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟96 1.66没校出的印刷错误数97 1.67至少安装外线数99 1.68每盒至少装多少只螺丝钉100 1.69价格预测100 1.70概率巧计算101 1.71离散型随机变量的密度函数定义103 1.72母函数104 1.73反之未必成立111 1.74两个母公式117 02数理统计篇123 2.1白球多还是黑球多128 2.2湖中有多少条鱼130 2.3有效估计量的简易计算132 2.4贝叶斯估计量的简易计算134 2.5一般离散型分布参数的极大似然估计136 2.6袋中有多少个普通硬币137 2.7收藏家买画问题139 2.8福利彩票142 2.9截尾试验中指数分布参数的估计148 2.10今天生产的滚球是否合格153 2.11如何减小犯第2类(纳伪)错误的概率β155 2.12原假设的“惰性”157 2.13验收(鉴定)抽样方案159 2.14第5次掷出几点163 2.15随机变量模拟抽样165 03随机过程篇170 3.1赌徒输光问题170 3.2群体(氏族)灭绝问题175 3.3市场占有率预测179 3.4股票价格预测182 3.5客机可靠性预测183 3.6教学质量评估184 3.7商品销售情况预测187 3.8定货总收入模型188 3.9造成死亡交通事故数191 3.10泊松过程的检验193 参考文献196 附表1标准正态分布函数值表198 附表2常见随机变量分布表200

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前　　言

序言

媒体评论

在线试读部分章节

　01概率论篇
　　1.1全是不可测集惹的麻烦
　　随机事件(简称为事件)、概率、随机变量是概率论中最基本的三个概念，它们是逐步形成与完善起来的。其中事件与随机变量这两个概念与不可测集合的关系非常紧密。如果不存在不可测集合，事件与随机变量的定义将会非常简洁易懂。由于不可测集合的存在，给这两个概念的定义带来了很大的麻烦，使初学者感到很困难。
　　学过初等概率论的人都知道，随机事件是样本空间(由所有样本点或基本事件组成的集合)的子集，但是样本空间的子集却未必是随机事件。为什么一般教科书均不作解释，因为此问题说起来话长，又涉及较多的数学知识，一两句话是说不清楚的。
　　如果样本空间Ω中的样本点只有可数(可列)多个，则Ω中的任一个子集都可测；如果Ω中的样本点有无穷不可数多个(如一个区间或一个区域)，则可人为地构造出Ω的不可测子集。什么叫做(集合)可测这涉及较深的测度论知识。通俗地说，所谓集合A可测，就是可以求出A的测度。什么叫做测度如果A是离散可数集合，则把A中的元素个数作为A的测度，如果A是非离散的区域而且是一维的(二维的、三维的)，就把A的长度(面积、体积)作为A的测度。关于如何构造Ω的不可测子集，有兴趣的读者可以参阅郑维行和王声望著的《实变函数与泛函分析概要》。初学者很难理解，一条曲线为什么会不可以测量它的长度呢美籍华人钟开来说，读者可以这样设想，这条曲线弯曲得非常厉害，我们无法测准它的长度，或者设想它离我们非常遥远，即使用最先进的仪器也无法对它进行测量。
　　由于样本空间中的子集不一定都可测，那些不可测子集我们是无法求其概率的，当然，就不把它们看成事件，这是因为我们研究事件的主要目的是求其出现(发生)的概率。又因为在实际问题中我们往往要对事件进行各种运算(或变换)，我们自然会问：可测事件运算(或变换)的结果是否仍为可测为了保证可测事件运算(或变换)的结果仍为可测，我们在定义事件中引进了σ代数的概念。
　　定义1.1设Ω为一个集合，如果Ω中的一些子集组成的集类(以集合为元素的集合)F满足：
　　(i)Ω∈F。
　　(ii)如果A∈F，则A的补集∈F。
　　(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，则∪∞n=1An∈F。
　　则称F为Ω中的σ代数。

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　01概率论篇 　　1.1全是不可测集惹的麻烦 　　随机事件(简称为事件)、概率、随机变量是概率论中最基本的三个概念，它们是逐步形成与完善起来的。其中事件与随机变量这两个概念与不可测集合的关系非常紧密。如果不存在不可测集合，事件与随机变量的定义将会非常简洁易懂。由于不可测集合的存在，给这两个概念的定义带来了很大的麻烦，使初学者感到很困难。 　　学过初等概率论的人都知道，随机事件是样本空间(由所有样本点或基本事件组成的集合)的子集，但是样本空间的子集却未必是随机事件。为什么一般教科书均不作解释，因为此问题说起来话长，又涉及较多的数学知识，一两句话是说不清楚的。 　　如果样本空间Ω中的样本点只有可数(可列)多个，则Ω中的任一个子集都可测；如果Ω中的样本点有无穷不可数多个(如一个区间或一个区域)，则可人为地构造出Ω的不可测子集。什么叫做(集合)可测这涉及较深的测度论知识。通俗地说，所谓集合A可测，就是可以求出A的测度。什么叫做测度如果A是离散可数集合，则把A中的元素个数作为A的测度，如果A是非离散的区域而且是一维的(二维的、三维的)，就把A的长度(面积、体积)作为A的测度。关于如何构造Ω的不可测子集，有兴趣的读者可以参阅郑维行和王声望著的《实变函数与泛函分析概要》。初学者很难理解，一条曲线为什么会不可以测量它的长度呢美籍华人钟开来说，读者可以这样设想，这条曲线弯曲得非常厉害，我们无法测准它的长度，或者设想它离我们非常遥远，即使用最先进的仪器也无法对它进行测量。 　　由于样本空间中的子集不一定都可测，那些不可测子集我们是无法求其概率的，当然，就不把它们看成事件，这是因为我们研究事件的主要目的是求其出现(发生)的概率。又因为在实际问题中我们往往要对事件进行各种运算(或变换)，我们自然会问：可测事件运算(或变换)的结果是否仍为可测为了保证可测事件运算(或变换)的结果仍为可测，我们在定义事件中引进了σ代数的概念。 　　定义1.1设Ω为一个集合，如果Ω中的一些子集组成的集类(以集合为元素的集合)F满足： 　　(i)Ω∈F。 　　(ii)如果A∈F，则A的补集∈F。 　　(iii)如果An∈F，n=1，2，3，，则∪∞n=1An∈F。 　　则称F为Ω中的σ代数。 　　有了σ代数的概念，可引入事件的如下的严密定义。 　　定义1.2如果F是由样本空间Ω中一些(可测)子集组成的σ代数，则称F为事件域，称且仅称F中的元素为事件。通常称(Ω，F)为可测空间。 　　由此定义可知： 　　(i)σ代数未必是事件域，但是事件域一定是σ代数。 　　(ii)｛，Ω｝为最小事件域(其中为不可能事件，即为不含有任何样本点的空集)。如果A为Ω中的可测子集，则｛，A，A，Ω｝是包含事件A的最小事件域。如果Ω中的子集都可测，则取事件域为｛A：AΩ｝(即如果AΩ，则称A为事件)，它也是最大的事件域。因此，事件域不是唯一的。 　　(iii)在实际问题中，如果Ω中的样本点是可数的，通常就取事件域为｛A：AΩ｝，否则，通常取事件域为包含我们所关心的事件的σ代数。在一个问题中，事件域一经取定就不再变动 　　如果不存在样本空间Ω中的不可测子集，随机变量就可以简单定义为：如果X(ω)是Ω上的单值实函数，则称X(ω)为随机变量。而现在随机变量的定义不仅复杂得多，而且使初学者很不容易理解。 　　定义1.3设(Ω，F)是一个可测空间，X(ω)为定义于Ω上的单值实函数，如果对任意实数x，均有 　　｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝∈F 　　则称X(ω)为(Ω，F)上的一个随机变量。 　　通常简记X(ω)为X，简记｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝为｛X≤x｝。｛ω：X(ω)≤x，ω∈Ω｝表示使得X(ω)≤x成立的那些样本点ω组成的集合。如果这个集合为可测的事件，即｛X≤x｝∈F，我们才称X为随机变量。 　　由定义1.3知随机变量不是简单的变量，而是定义于样本空间Ω上的满足条件｛X≤x｝∈F的单值实函数。不过在实际问题中如果用定义1.3去验证一个量是否为随机变量那将是件很麻烦的事情。通常不用定义1.3去验证一个量是否为随机变量，而是去验证该量取值是否为随机的。如果是，则该量是随机变量；否则，它就不是随机变量。何为随机的所谓随机的是指：该量至少能取两个值，而且事前(试验之前)无法准确预言它取哪个值。 　　1.2概率概念的完善 　　概率是描述事件发生(出现)可能性大小的数量指标，它是逐步形成和完善起来的。最初人们讨论的是古典概型(随机)试验中事件发生的概率。所谓古典概型试验是指样本空间中的样本点的个数是有限的且每个样本点(组成的事件)发生的可能性是相同的，简称为有限性与等可能性。例如，掷一颗均匀骰子的试验与从一个装有n个相同(编了号)球的袋中随机摸一个球的试验都是古典概型试验。对于古典概型试验，人们给出概率的如下定义。 　　定义1.4设试验E是古典概型的，其样本空间Ω由n个样本点组成，其一事件A由r个样本点组成，则定义A(发生)的概率为rn，记为P(A)，即 　　P(A)=A中样本点数Ω中样本点数=rn 　　并称这样定义的概率为古典概率，称概率的这样的定义为古典定义。 　　古典概率有如下3个性质： 　　(i)对任意事件A，有0≤P(A)≤1。 　　(ii)P(Ω)=1。 　　(iii)设A1，A2，，Am为两两互斥的m个事件，则 　　P(∪mi=1Ai)=∑mi=1P(Ai) 　　(i)、(ii)、(iii)分别称为概率的有界性、规范性与有限可加性。 　　古典概率的定义要求试验满足有限性与等可能性，这使得它在实际应用中受到了很大的限制。例如，对于旋转均匀陀螺的试验：在一个均匀的陀螺圆周上均匀地刻上区间［0，3)内诸数字，旋转陀螺，当它停下时，其圆周上与桌面接触处的刻度位于某区间［a，b)［［0，3)］内的概率有多大对于这样的试验，古典概率的定义就不适用。因为此试验的样本点不是有限的，而是区间［0，3］中的每个点，它有无穷不可数多个。为了克服定义1.4的局限性，人们又引入概率的如下定义。 　　定义1.5设试验E的样本空间为某可度量的区域Ω，且Ω中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关，则称E为几何概型的试验。且定义E的事件A的概率为 　　P(A)=A的几何度量/Ω的几何度量 　　其中，如果Ω是一维的、二维的、三维的，则Ω的几何度量分别为长度、面积、体积。并称这样定义的概率为几何概率，而称概率的这样的定义为几何定义。 　　几何概率除了具有古典概率的3个性质外，它还具有如下的可列可加性(或完全可加性)： 　　(iv)设A1，A2，A3，为两两互斥的无穷多个事件，则 　　概率的几何定义虽然去掉了有限性的限制，但是它仍然要试验满足等可能性，这在实际问题中仍有很大的局限性。例如，掷一枚不均匀的硬币的试验就不具有等可能性，这样上述两个定义对这个非常简单的试验都不适用。同时我们还注意到上述两个定义中的等可能性严格地说都是近似的，而不是真正的等可能。因此，我们必须再一次推广概率的定义，以满足实际问题要求。为此，人们在频率的基础上又引进了概率的统计定义。 　　通过长期的实践，人们逐步发现，当重复试验的次数很多时，事件出现的频率都具有稳定性。即对于某个固定的事件，当重复试验次数增加时，该事件出现的频率总在0与1之间某个数字p附近摆动，且越来越接近p。例如，掷一枚均匀硬币的试验，历史上曾经有很多数学家做过。下表是几位数学家做此试验的结果。由此表可以看到，当试验次数越来越多时，正面出现的频率越来越靠近0.5(表1-1)。由此，人们又引入概率的统计定义。 　　表1-1掷均匀硬币的试验 　　定义1.6设A为试验E的一个事件，如果随着重复试验次数的增加A出现的频率在0与1之间某个数p附近摆动，则定义A的概率为p，记为P(A)，即 　　P(A)=p 　　称这样定义的概率为统计概率，称概率的这样的定义为统计定义。 　　统计概率也有古典概率的3个性质，即有界性、规范性、有限可加性。 　　概率的统计定义对试验不作任何要求，它适合所有试验，也比较直观。但是在数学上很不严密。因为其依据是重复试验次数很多时频率呈现出的稳定性。何为"很多"1万次相对于1000次来说是很多了，但是相对于10万次来说它又是很少了。试验次数究竟要多到怎样的程度才能算"很多"定义中没有说明；又如定义中的"摆动"又如何理解，也没有数学说明，再如定义中的"p"又如何确定不同的人可能会确定不同的值。这样，一个事件将有多个概率。例如，在表1-1中，正面出现的频率显然在0.5附近摆动，因此可以认为正面出现的概率为0.5。但是由于硬币不会绝对均匀的，也可以认为正面出现的概率为0.50001或0.4999。因此，概率的上述3个定义都有缺陷，与其说它们是定义，不如说它们仅是对不同的情况给出概率的3种计算方法。所以我们有必要给出概率的一个严密的对各种情况都适用的定义，以使得概率论这座大厦有牢固的基础。 　　20世纪30年代初，冯.米富斯(R.VonMises)给出样本空间的概念，使得有可能把概率的严密的数学理论建立在测度论上。20世纪30年代中期柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)以上述3个定义的性质为背景给出概率的严密的公理化定义。 　　定义1.7设(Ω，F)为一个可测空间，P为定义于F上的实值集合函数，如果P满足下列3个条件： 　　(i)对每个A∈F，有P(A)≥0； 　　(ii)P(Ω)=1； 　　(iii)如果Ai∈F，i=1，2，3，，且当i≠j时，AiAj=，则P(∪∞i=1Ai)=∑∞i=1P(Ai)。 　　那么，就称P为概率测度，简称为概率。 　　一般把Ω，F，P写在一起成(Ω，F，P)，并称(Ω，F，P)为概率空间。以后总用Ω表示样本空间，用F表示Ω中的固定的事件域，用P表示相应于Ω与F的概率。此定义的3个条件称为3个公理。这3个公理分别称为概率的非负性、规范性与完全可加性(或可列可加性)。 　　概率的公理化定义中没有要求定义于F上的实值集合函数P满足有界性与有限可加性，为什么这是因为有界性与有限可加性可以由3个公理推导出来，而且，一个概念的定义(自然)要求所满足的条件越少越好，这样才便于应用。设想，如果一个定义要求满足10个条件，则每次应用前都要逐一验证这10个条件是否满足(如果不满足，则不能应用该定义)，这将是很麻烦的事情。其次，概率的公理化定义是严密的数学定义，且对试验不作任何要求，我们很自然地会问，前述的三个定义是否可以不要了不可以。这是因为公理化定义虽然在数学上很严密，但是它没有给出事件概率的计算方法。要计算一个具体事件的概率，还得根据不同的情况，利用上述3个定义之一来计算。 　　另一个需要说明的是概率的公理化定义不是唯一，它有很多等价定义。由有限可加性得P()=P(∑n 1i=1)=(n 1)P()，即nP()=0，所以P()=0，又对任意事件A∈F，由单调性，有P(A)≥P()，从而 　　……
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