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本书层次分明、逻辑结构严谨、详细而不啰嗦、精炼而不失实。本书的讲解不局限于模糊数学的基础知识，而是用大量的篇幅来讲解模糊数学的应用。为了使读者可以验证学习的效果、巩固所学的内容，每章后面都附有具有代表性的习题。

内容简介

本书系统地论述了模糊系统数学的基本知识、原理及其方法。该书的一个特色在于尽量使用简洁的语言对其概念和原理作出清晰明了的讲述，使读者能够对模糊系统数学有直观的认识，建立起模糊思维和处理模糊问题的能力；另一个特色在于将其与经济管理和工程中的实例相结合。本书首先介绍了模糊系统数学的基础知识，从经典集合过渡到模糊集合，再到模糊隶属函数和模糊关系，以及模糊问题向清晰问题的转化；其次介绍了模糊聚类、模式识别、模糊扩张原理、模糊推理、模糊控制、模糊决策、模糊线性规划等原理和方法内容。本书可以作为高年级本科生教材和研究生教材，也可供读者自学参考。

目　　录

第1章模糊集合与隶属函数

1.1经典集合

1.1.1经典集合概念及其表示

1.1.2经典集合的运算

1.1.3经典集合的性质

1.1.4经典集合映射为函数

1.2模糊集合

第1章模糊集合与隶属函数
 
1.1经典集合
 
1.1.1经典集合概念及其表示
 
1.1.2经典集合的运算
 
1.1.3经典集合的性质
 
1.1.4经典集合映射为函数
 
1.2模糊集合
 
1.2.1模糊集合运算
 
1.2.2模糊集合的性质
 
1.3隶属函数
 
1.3.1隶属函数的特征
 
1.3.2凸模糊集
 
1.3.3多维隶属函数的讨论
 
1.3.4模糊化
 
1.3.5隶属度的赋值
 
习题
 
第2章模糊关系
 
2.1笛卡儿积
 
2.2清晰关系
 
2.2.1清晰关系的运算
 
2.2.2清晰关系的性质
 
2.2.3复合
 
2.2.4清晰等价关系
 
2.2.5清晰相似关系
 
2.3模糊关系
 
2.3.1模糊关系的运算
 
2.3.2模糊关系的性质
 
2.3.3模糊关系的复合
 
2.3.4模糊相似关系和等价关系
 
2.4赋值
 
2.4.1余弦幅度法
 
2.4.2其他相似性方法
 
习题
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
第3章模糊向清晰的转换
 
3.1模糊集的λ分割
 
 
3.2模糊关系的λ分割
 
3.3分解定理与表现定理
 
3.3.1分解定理
 
3.3.2集合套与表现定理
 
3.4非模糊化方法
 
习题
 
第4章模糊聚类分析
 
4.1数据集的c分类
 
4.1.1硬c分类
 
4.1.2硬c均值(Hard cmeans，HCM)算法
 
4.2基于等价关系的模糊聚类分析
 
4.2.1模糊聚类的等价关系基本思想
 
4.2.2基于等价关系的模糊聚类分析步骤
 
4.2.3最佳阈值λ的确定
 
4.3基于模糊c均值的聚类算法
 
4.3.1模糊c划分
 
4.3.2模糊c均值(Fuzzy cmeans,FCM)聚类算法
 
4.3.3FCM聚类算法存在的问题
 
习题
 
第5章模糊模式识别
 
5.1模糊向量
 
5.2贴近度
 
5.3模糊模式识别的基本原则
 
5.3.1最大隶属原则
 
5.3.2择近原则
 
5.3.3多个特性的择近原则
 
5.4模糊模式识别的应用
 
习题
 
第6章扩张原理与模糊数
 
6.1模糊变换
 
6.2扩张原理
 
6.3多元扩张原理
 
6.4模糊数
 
6.4.1区间数
 
6.4.2模糊数
 
习题
 
第7章模糊逻辑和模糊推理
 
7.1经典逻辑
 
7.1.1集合与命题
 
7.1.2逻辑联结词
 
7.2模糊语言与语言变量
 
7.2.1集合描述语言系统
 
7.2.2模糊语言算子
 
7.2.3语言值及其四则运算
 
7.2.4模糊语言变量
 
7.3模糊逻辑
 
7.3.1模糊命题
 
7.3.2模糊联结词
 
7.4模糊推理
 
7.5蕴涵运算的其他形式
 
7.6复合运算的其他形式
 
7.7基于规则的系统及其推理的图解方法
 
7.7.1规则的形式
 
7.7.2规则的分解和聚合
 
7.7.3基于规则的推理图解法
 
习题
 
第8章模糊控制系统
 
8.1模糊控制的基本思想
 
8.2模糊控制系统的组成
 
8.3模糊控制器
 
8.3.1模糊控制器的基本结构
 
8.3.2模糊控制器各主要组成部分的功能
 
8.3.3模糊控制器的基本类型
 
8.4模糊控制器的设计
 
8.4.1模糊化
 
8.4.2数据库
 
8.4.3规则库
 
8.4.4模糊推理
 
8.4.5去模糊化
 
8.4.6建立查询表
 
8.5模糊控制器实例
 
8.5.1被控对象的特点和控制任务
 
8.5.2模糊控制器设计
 
习题
 
第9章模糊综合评判、多目标决策、模糊预测
 
9.1模糊综合评判
 
9.1.1模糊综合评判法的思想和原理
 
9.1.2模糊综合评判的模型和步骤
 
9.2多目标决策
 
9.3模糊预测
 
9.3.1模糊时间序列预测
 
9.3.2模糊回归预测
 
习题
 
第10章模糊线性规划
 
10.1经典线性规划简介
 
10.1.1线性规划
 
10.1.2多目标规划
 
10.2模糊约束条件下的极值问题
 
10.3模糊线性规划
 
10.4多目标模糊线性规划
 
10.4.1多目标线性规划的模糊最优解
 
10.4.2约束条件有伸缩性的多目标模糊线性规划问题
 
习题
 
参考文献

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前　　言

前言

前言 自从罗特夫·扎德(Lotfi Zadeh)博士于1965年在《信息与控制》杂志上发表了一篇开创性论文《模糊集合》以后，经典数学的一些观念受到颠覆，引导人们更多地试图通过这一新的数学思想来描述我们的认识、判断和推理，由此形成了新的数学分支——模糊数学。模糊数学和经典数学的不同之处在于模糊数学处理的都是边界含糊不清的或者说模糊的概念、对象，这实质上是针对有别于随机性的不确定性问题，这种不确定性问题大量地存在于我们自己的主观感受中，这是无法精确衡量的。可以说，模糊数学为定量化地描述我们的认识、判断、推理及其外在形式——自然语言提供了一种强大的工具。因此，学习好模糊数学，能够为管理决策建模和计算机人工智能等领域的研究提供一种新的数学工具。事实上，目前，模糊数学和模糊推理的方法已经在工业系统控制、智能家电、智能交通、模糊决策等领域有了广泛而成功的应用。更为可喜的是，它还在刚刚兴起的文本挖掘、自然语言理解等商务智能和语义网智能等领域受到青睐。可以预见，模糊数学将在管理和计算机智能等具有模糊性系统领域发挥更大的潜力和作用。正是基于这样的认识，在系统总结模糊系统数学新的方法与应用基础上，结合编者在模糊系统数学方面十余年的教学体会，编写了这本教材。本书共分为10章，第1章介绍了模糊数学的基本概念及其性质，重点阐述了模糊集合的性质、模糊集合的运算及模糊集合隶属函数的确定； 第2章介绍了模糊关系的性质与运算； 第3章介绍了分割的概念，讲解了模糊向清晰转换的重要概念及方法，给出了模糊向清晰转换在工程管理方面的应用举例； 第4章介绍了模糊聚类的一些方法及模糊聚类的应用； 第5章介绍了模糊模式识别的概念、性质、方法、应用； 第6章介绍了模糊扩张原理和模糊数相关内容，介绍了扩张原理中的有关重要定理； 第7章介绍了模糊逻辑和模糊推理的基本理论，及其在语言处理方面的应用； 第8章介绍了模糊控制系统的组成、应用，通过实例详细介绍了模糊控制系统的构建过程； 第9章介绍了模糊综合评判、多目标决策、模糊预测的主要内容，重点介绍了这些方法在经济管理中的应用； 第10章介绍了模糊线性规划的性质、应用等内容。为了让读者能对模糊数学的应用有更深的了解，编者在本书中列举了大量的应用示例，对于示例的选取，编者尽量偏重管理学方面较为成熟的示例。每一章后面的习题，有利于读者自己检验学习的效果。本书可以作为本科生高年级和研究生的教材使用。在本书的编写过程中，编者的研究生张向阳、孙娜、崔雪莲、韩琪玮、戚方丽、洪月、宋爽、于明朕、李静、彭振、韩金波、张铭今、杨凡、睢国钦、刘晓君做了大量的资料收集、校对工作，编者在此一并表示衷心的感谢。对于本书的编写，编者参考了多个国内外有关模糊数学方面的教材和专著(详见参考文献)，以期博取众家之长，在此表示衷心感谢。尽管编者力求严谨和规范，但限于编者的水平和时间，书中难免存在一些错误和纰漏，敬请各位专家、读者批评指正。编者 2016年7月

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第1章
模糊集合与隶属函数

1.1经典集合1.1.1经典集合概念及其表示

论域在讨论时，把议题局限于一定的范围，这一讨论范围，即被讨论的全体事物，就称为论域，常用大写字母U、V等表示。论域可简称域，根据其性质可分为离散域和连续域。集合给定一个论域，其中，具有某种属性的事物的全体，称为论域上的一个集合，常用大写字母A、B、X、Y等表示。论域本身也是集合，称为全集。元素集合中的每一事物，称为这个集合的元素，常用小写字母a、b、x、y等表示。属于元素是个体的概念，集合是整体的概念，它们之间具有属于和不属于的关系，如a属于A，记作a∈A； a不属于A，记作aA。集合及其定义域的一种有用属性称为基数性或基数的度量。集合X中的元素总数称为基数，记作nX。由可数且有限的元素所构成的集合具有有限基数；由无限个元素所构成的集合具有无限的基数。由集合内部分元素构成的集合，称为子集。集合和子集常当作同义词用，因此任何一个集合也可以说是全集X的一个子集。论域X上的集合A和B有下列概念： AB表示集合A完全包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B，且至少存在一个元素y∈B且yA。AB表示集合A包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B。A=B表示集合A等价于集合B，即AB且BA。把不包含任何元素的集合定义为空集，记作。空集是任何集合的子集，即对任意集合A，有A。空集对应于不可能发生的事件，全集对应于必然发生的事件。X的所有可能子集所构成的一个特殊集合称为幂集，记作P(X)。例1.1现有一个由三元素组成的论域X={a，b，c}，其基数nX=3，其幂集为
P（X）={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

第1章 模糊集合与隶属函数 1.1经 典 集 合1.1.1经典集合概念及其表示 论域在讨论时，把议题局限于一定的范围，这一讨论范围，即被讨论的全体事物，就称为论域，常用大写字母U、V等表示。论域可简称域，根据其性质可分为离散域和连续域。集合给定一个论域，其中，具有某种属性的事物的全体，称为论域上的一个集合，常用大写字母A、B、X、Y等表示。论域本身也是集合，称为全集。元素集合中的每一事物，称为这个集合的元素，常用小写字母a、b、x、y等表示。属于元素是个体的概念，集合是整体的概念，它们之间具有属于和不属于的关系，如a属于A，记作a∈A； a不属于A，记作aA。集合及其定义域的一种有用属性称为基数性或基数的度量。集合X中的元素总数称为基数，记作nX。由可数且有限的元素所构成的集合具有有限基数； 由无限个元素所构成的集合具有无限的基数。由集合内部分元素构成的集合，称为子集。集合和子集常当作同义词用，因此任何一个集合也可以说是全集X的一个子集。论域X上的集合A和B有下列概念： AB表示集合A完全包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B，且至少存在一个元素y∈B且yA。AB表示集合A包含于集合B，即如果x∈A，则x∈B。A=B表示集合A等价于集合B，即AB且BA。把不包含任何元素的集合定义为空集，记作。空集是任何集合的子集，即对任意集合A，有A。空集对应于不可能发生的事件，全集对应于必然发生的事件。X的所有可能子集所构成的一个特殊集合称为幂集，记作P(X)。例1.1现有一个由三元素组成的论域X={a，b，c}，其基数nX=3，其幂集为 P（X）={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 幂集的基数记作np(x)np（X），为np（x）=2nx=23=8np（X）=2nX=23=8。注意： 如果论域的基数是无限的，则幂集的基数也是无限的，即 nX=∞，则np（X）=∞。 1.1.2经典集合的运算令A和B为论域X上的两个集合。两集合的并集记作A∪B，表示域X中属于集合A或属于集合B的所有元素所构成的集合。两个集合的交集记作A∩B，表示论域中既属于集合A,同时又属于集合B的所有元素所构成的集合。集合A的补集记作，定义为论域内不在集合A中的所有元素构成的集合。集合A与集合B的差集记作A|B，定义为论域内在集合A中但同时又不在集合B中的所有元素构成的集合。下面用集合论来表示上述运算。并集： A∪B={x|x∈A或x∈B}(1.1)交集： A∩B={x|x∈A和x∈B}(1.2)补集： ={x|xA,x∈X}(1.3)差集： A|B={x|x∈A且xB}(1.4) 1.1.3经典集合的性质从经典集合的定义出发，我们不难得到以下的一些重要性质。交换律： A∪B=B∪A(1.5)A∩B=B∩A结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C(1.6)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律： A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)(1.7)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)幂等律： A∪A=A(1.8)A∩A=A同一律： A∪=A(1.9)A∩X=A零律： A∩=A∪X=X(1.10)传递性： 如果ABC，那么AC，还原律： A=A(1.11)集合运算的两个特殊性质称为排中定律和德·摩根定律。这里将结合集合A和集合B对这两定律进行说明。排中定律实际上有两条［式(1.12)已给出］： 第一，称为排中律，论述集合A和其补集的并集； 第二，称为矛盾律，表示集合A和其补集的交集。(1) 排中律： A∪=X(1.12a)(2) 矛盾律： A∩=(1.12b)德·摩根定律的重要性在于它们不仅能证明逻辑中的赘述和矛盾，还能应用于大量的集合运算的证明之中。德·摩根定律：  A∩B=∪(1.13a) A∪B=∩(1.13b) 设Ei(i=1,2,…,n)为同一论域上的系列集合，则德·摩根定律的通用形式为 E1∪E2∪…∪En=E1∩E2∩…∩En(1.14a) E1∩E2∩…∩En=E1∪E2∪…∪En(1.14b) 由式（1.4）可以得出一种对偶关系： 并集或交集的补分别等价于相应的补集的交或并。例1.2在管理学中团队合作非常重要，如图1.1所示，只有团队1和团队2共同都成功，才可以达到目标。如果有一个团队失败，则达不到目标。如果E1=团队1的成功，E2=团队2的成功，那么目标达到=E1∩E2。反之达不到目标=E1∩E2逻辑上，只要一个团队失败，即当∪E1∪E2时，目标就达不到。所以E1∩E2=E1∪E2，这就是对德·摩根定律的说明。 图1.1目标达到图 图1.2物资输送图 例1.3如图1.2所示，现在有A、B两处均可以向C处输送救灾物资，1、2和3分别代表道路。1、2两条道路中的任一条都能够经由道路3向C处输送救灾物资。设E1=道路1故障，E2=道路2故障，E3=道路3故障，则不能将救援物资输送到C处事件(E1∩E2)∪E3发生，若能将救援物资输送到C处则是该事件的补。运用德·摩根律，可得成功将救援物资输送到C处的情况是 (E1∩E2)∪E3=(E1∪E2)∩E3 其中(E1∪E2)表示可以将救援物资从A或者B输送到道路3处，E3表示道路三无故障。 1.1.4经典集合映射为函数映射是在将元素的集合论形式与函数论表示相结合的一个重要方法和概念。通过映射可以将一个论域的元素或集合映射成另一个论域内的元素或集合。设X和Y是两个不同的论域，又设论域X中的元素x与论域Y中的元素y相对应，通常称这种对应关系为论域X到论域Y的映射，或记为f： X→Y。一种特殊的映射我们称为特征函数，记为χA，其定义为 χA(x)=1,x∈A 0,xA(1.15) 这里χA(x)表示元素x在集合A中的特征值，χA(x)=1代表x属于集合A，χA(x)=0代表x不属于集合A。特征函数χA形成了论域X内元素x到论域Y={0,1}内的元素之间的一种映射，如图1.3所示。 图1.3特征函数是关于清晰集合A的一种映射 现根据特征函数定义，我们对集合的并、交、补等运算重新进行表示。设在域X上有两个集合A和B，根据特征函数有  A∪B： χA∪B(x)=χA(x)∨χB(x)=max(χA(x),χB(x))(1.16) 其中符号∨表示“取最大值”运算(在逻辑学上称为析取运算)。 A∩B： χA∩B(x)=χA(x)∧χB(x)=min(χA(x),χB(x))(1.17) 其中符号∧表示“取最小值”运算(在逻辑学上称为合取运算)。 ： χ(x)=1－χA(x)(1.18) 相同域中的两个集合A和集合B，如果集合A包含于集合B，那么在函数论术语中，包含为 AB： χA(x)≤χB(x)(1.19) 1.2模 糊 集 合在现实世界中，我们遇到的很多对象是模糊的、不能精确定义的。如“好”与“坏”之间我们找不到精确的界限，因此对于这一类的集合我们无法用经典集合的理论来表示，而模糊集合的出现则正好补充了经典集合的这一缺陷。模糊集合是一个有着不同隶属度的元素的集合。这与经典或称清晰集合的概念正相反，因为清晰集合是不可能有非全隶属度的元素的(即其隶属度为1)。一个模糊集合中的元素可以是同一域内另一个模糊集合的元素，因为其隶属度可为非全隶属度取值。用函数论的形式将模糊集合的元素映射到一个“隶属度值”域内，模糊集合在本书中用集合符号下面加画波浪线表示。例如，A～表示“模糊的集合A～”，该函数将模糊集合A～的元素映射为0~1区间上的实数值。如果该域上的某个元素x是模糊集合A～的成员，那么该映射可用μA～(x)∈［0,1］表示。 图1.4为模糊集合A～的隶属函数。 图1.4模糊集合A～的隶属函数 当论域X是离散和有限时，模糊集合A～的习惯标记为 A～=μA～(x1)x1 μA～(x2)x2 …=∑iμA～(xi)xi(1.20) 当论域X是连续和无限时，模糊集合A~记作 A～=∫μA～(x)x(1.21) 在上述两个标记中，水平线或斜杠(为标记方便，下面常用斜杠表示)不表示商而是定义符。每个表达式的分子是集合A～的隶属度值，集合A～与用每个表达式名称所表示的域内元素有关。第一种标记中，求和的符号不表示代数和，而是各个元素的汇集或聚集； 所以上式中的“ ”号不是代数和中的“加号”，而是函数论中的并。在第二种标记中，积分符号不表示代数积，而是对连续变量求连续函数论中的并。1.2.1模糊集合运算 在论域X上定义三个模糊集合A～，B～，C～，对域内给定元素x，在X域上的模糊集合A～、B～、C～在集合论中的并、交、补运算的函数论运算定义如下： 并集： μA～∪B~(x)=max(μA～(x),μB~(x))(1.22) 交集： μA～∩B~(x)=min(μA～(x),μB~(x))(1.23) 补集： μ～(x)=1－μA～(x)(1.24) 模糊集合进行上述运算的扩展了的文氏图如图1.5~图1.7所示。 图1.5模糊集合A～和B～的并集 图1.6模糊集合A～和B～的交集 图1.7模糊集合A～的补集 域X上的模糊集合A～是该域上的一个子集。如同对经典集合的定义一样，空集中任意元素x的隶属度值为0，全集X中元素的隶属度值为1。注意在本书中所提的空集和全集为非模糊集合(不带下画波纹线)。下面是这些概念的相应表示：  A～XμA～(x)≤μX(x)(1.25a) μ(x)=0,对所有x∈X(1.25b) μX(x)=1,对所有x∈X(1.25c) 域X上所有模糊集合和模糊子集的集合记作模糊幂集P～(X)。很显然，所有模糊集合都可重叠，模糊幂集的基数nP～(X)是无限的； 即nP～(X)=∞。经典集合的德·摩根定律也适用于模糊集合，可由下列表达式表示：  A～∩B～=～∪～(1.26a) A～∪B～=～∩～(1.26b) 排中定律是所描述的集合性质中唯一的一种不能对经典集合和模糊集合都成立的集合运算，其他的同时适用于经典集合与模糊集合。排中定律的两条法则不适用于模糊集合，因为模糊集合之间会重叠，模糊集合与其补集也会重叠。扩展到模糊集合的排中定律可表示成：  A～∪～≠X(1.27a) A～∩～≠(1.27b) 图1.8和图1.9分别为经典(清晰)集合与模糊集合的排中定律相比较的扩展了的文氏图。 图1.8清晰集合的排中定律 图1.9模糊集合的排中定律 1.2.2模糊集合的性质模糊集合有着与清晰集合相似的性质。正因为清晰集合的隶属度值是［0,1］区间上的一个子集，清晰集合可认为是模糊集合的一个特例。模糊集合常用性质列举如下： 交换律：  A～∪B～=B～∪A～ A～∩B～=B～∩A～(1.28) 结合律：  A～∪(B～∪C～)=(A～∪B～)∪C～ A～∩(B～∩C～)=(A～∩B～)∩C～(1.29) 分配律：  A～∪(B～∩C～)=(A～∪B～)∩(A～∪C～) A～∩(B～∪C～)=(A～∩B～)∪(A～∩C～)(1.30) 幂等律：  A～∪A～=A～和A～∩A～=A～(1.31) 同一律：  A～∪=A～和A～∩X=A～ A～∩=和A～∪X=X(1.32) 传递性：  如果A～B～C～，那么A～C～(1.33) 还原律：  A～=A～(1.34) 例1.4设论域X={1,2,3,4}上有两个模糊集合，分别为A～=01 0.42 0.63 14B～=01 12 0.83 0.44现运算两个模糊集合的补集，并集，交集，差集，并验证德·摩根定律，排中定律。补集： ~=11 0.62 0.43 04~=11 02 0.23 0.64并集： A～∪B～=01 12 0.83 14交集： A～∩B～=01 0.42 0.63 0.44差集： A～|B～=A～∩~=01 02 0.23 0.64B～|A～=B～∩~=01 0.62 0.43 04德·摩根定律： A～∪B～=A～∩B～=11 02 0.23 04A～∩B～=A～∪B～=11 0.62 0.43 0.64  1.3隶 属 函 数对于一个特定模糊集来说，隶属函数基本上体现了其所有的模糊性，因此这种描述也体现了模糊特性或运算的本质。本节将叙述并举例说明3种常用的建立隶属函数的方法。1.3.1隶属函数的特征既然隶属函数描述了模糊集中所包含的所有内容，那么建立描述这种函数的专业术语是相当重要的。为简明起见，设以下各图中所表示的函数均为连续的，而术语在离散和连续的模糊集中可同等使用。模糊集合A～的隶属函数的核定义为集合A～中具有完全的和全隶属度值的区域。即核是由具有μA～(x)=1的域内元素x所组成，记为kerA～。我们称核非空的集合为正规模糊集，反之则称为次正规模糊集。模糊集合A～的隶属函数的支集定义为集合A～中具有非零隶属度特征的区域，即支集是由μA～(x)>0所包含的论域中元素x所组成的，记为suppA～。模糊集合A～的隶属函数的边界定义为集合A～中具有非零且又非完全隶属度值特征的区域，即边界是由0<μA～(x)<1所包含的论域中元素x所组成。图1.10说明了典型模糊集合的核、支集和边界所组成的论域区间。 图1.10模糊集合的核、支集、边界 1.3.2凸模糊集对于经典集合，所谓集合A是凸的，是指对于任意两点x,y∈A及λ∈［0,1］，联结x,y的线段上的点z=λx （1-λ）y都包含于A中。所谓凸模糊集，定义如下： 定义1.1设A～是论域U上的模糊集合，若x1,x2,x3∈A～，且x1=λx2 (1－λ)x3λ∈［0,1］,均有 μA～(x1)≥min(μA～(x2),μA～(x3)) 则称A～是凸模糊集。 例1.5设模糊集A～的隶属函数为 μA～(x)=0x<0 e－xx≥0 不妨假定x1<x<x2，分三种情况讨论它的凸性，如图1.11所示。解： (1) 当x1<0,x2<0时， μA～(x)=μA～(x1)∧μA～(x2)≡0 (2) 当x1<0,x2≥0时， μA～(x)≥μA～(x1)∧μA～(x2)≡0 图1.11模糊集A～的隶属函数 (3) 当x1≥0,x2>0时，因μA～(x)=e－x是减函数： 故有：  x1<x<x2,e-x1>e-x>e-x2 即μA～(x)>μA～(x1)∧μA～(x2) 因此，A～为凸模糊集。定理1.1若A～,B～是凸模糊集，则A～∩B～也是凸模糊集。 1.3.3多维隶属函数的讨论隶属函数可以是对称的或非对称的，它们一般定义在一维论域上，但也可以在多维(或n维)论域上来描述。例如本章给出的隶属函数是一维曲线，在二维中连续隶属函数就构成了曲面，在三维或多维中连续隶属函数又构成了超曲面。这些超曲面或曲线是从n维空间中参数的组合到区间［0,1］上的隶属值的简单映射。再者，该隶属值表示了一个特定模糊集的隶属程度，该模糊集定义在n维论域上，由n维空间中参数的特殊组合构

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