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　　在精算领域，保费厘定*重要的方法之一就是信度原理。信度原理是基于贝叶斯(Bayes)框架，结合被保险人的索赔样本数据信息和先验分布信息对保单定价的一种方法。本书以贝叶斯统计为基础，利用数理统计中的方法，结合金融研究工具介绍信度估计的理论与方法，构建各种风险模型下的保费定价模型。

内容简介

信度理论是基于样本索赔数据和先验信息对保费定价的一种方法。《信度估计的理论与方法》以贝叶斯统计为基础，利用各种统计方法，对信度估计的理论与方法作了系统和详细的介绍。从保费原理与信度、相依风险与信度等方面探讨了现代信度理论方法的前沿研究课题。
《信度估计的理论与方法》可以作为保险精算、金融数学、概率论数理统计专业的教学或参考用书，同时也适合金融、保险、统计等行业的从业人员，特别是正从事保险精算和金融创新设计的决策人员以及相关的研究工作者阅读参考。

目　　录

前言
第一篇信度理论综述
第1章保费定价与保费原理
第2章信度理论介绍
2.1 信度理论解决的精算问题
2.2 关于信度原理的历史评注
2.3 信度理论的主要研究方向
第二篇信度保费的估计方法
第3章 Bayes保费与信度保费
3.1 保费估计
3.2 贝叶斯保费估计
3.3 信度保费
3.4 信度估计与正交投影
3.5 精确Bayes条件

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第一篇信度理论综述
第1 章保费定价与保费原理
保费定价是指精算师对保险产品制定一个合理的价格的过程。在厘定保费时，保险公司最关心的问题是：① 如何使征收的保费足够理赔；② 在保费足够理赔的基础上，如何增强保险产品的竞争力。在对保险产品定价过程中，精算师必须对风险进行科学的分析和评价，以使制定的价格能确保保险公司正常的赔付和获取一定的利润。征收的保费过高，会使投保人数量减少，保单流失；过低，会使征收的保费不够理赔，造成亏损。因此，保费定价是保险公司最为关注的重要问题之一。保险公司在厘定费率时，既要考虑总的保费收入，又要考虑投保人的预期保费，使得保费在投保人之间公平分摊。
通常情况下，精算师制定保费的依据是保险产品的历史索赔数据。在精算学中，把一份保单可能导致的索赔定义为一个风险，用随机变量X 来表示。这时该保险的历史索赔数据可以看做该随机变量的随机样本的实现值。通过分析和了解这些数据信息，得到风险随机变量的分布特征，进而为该风险（保单）制定合理的价格H（X），即为保费。
定义1.0.1 设X 是取值非负的风险随机变量，其分布函数为FX（x），保费原理就是给风险X 分配一个实值泛函H（?），记为X ! H（X）或FX ! H（FX）。通俗地讲，保费原理就是为取值随机的风险变量，制定一个非随机的价格。事实上，保费原理就是一种风险度量工具，度量了风险X 的大小。在这个意义上，保费原理一般要求满足风险度量的一致性公理（Artzner et al., 1999）。
在实际运用中，常用的保费原理如下。
在理论上，若能根据样本很好地估计风险随机变量X 的分布FX 或分布的某些特征（如一二阶矩），则保险公司可以选取合适的保费原理，得到该风险的价格估计，称为保费估计。
例1.0.1 设X1;X2; ? ? ? ;Xn 是风险保单X 的n 次观测值，假设为独立同分布的样本，具有共同的分布函数FX（x）。记Fn（x）为样本X1;X2; ? ? ? ;Xn 的经验分布函数，则根据Borel-Cantelli 引理，有。

第一篇 信度理论综述 第1 章保费定价与保费原理 保费定价是指精算师对保险产品制定一个合理的价格的过程。在厘定保费时，保险公司最关心的问题是：① 如何使征收的保费足够理赔；② 在保费足够理赔的基础上，如何增强保险产品的竞争力。在对保险产品定价过程中，精算师必须对风险进行科学的分析和评价，以使制定的价格能确保保险公司正常的赔付和获取一定的利润。征收的保费过高，会使投保人数量减少，保单流失；过低，会使征收的保费不够理赔，造成亏损。因此，保费定价是保险公司最为关注的重要问题之一。保险公司在厘定费率时，既要考虑总的保费收入，又要考虑投保人的预期保费，使得保费在投保人之间公平分摊。 通常情况下，精算师制定保费的依据是保险产品的历史索赔数据。在精算学中，把一份保单可能导致的索赔定义为一个风险，用随机变量X 来表示。这时该保险的历史索赔数据可以看做该随机变量的随机样本的实现值。通过分析和了解这些数据信息，得到风险随机变量的分布特征，进而为该风险（保单） 制定合理的价格H（X），即为保费。 定义1.0.1 设X 是取值非负的风险随机变量，其分布函数为FX（x），保费原理就是给风险X 分配一个实值泛函H（?），记为X ! H（X） 或FX ! H（FX）。通俗地讲，保费原理就是为取值随机的风险变量，制定一个非随机的价格。事实上，保费原理就是一种风险度量工具，度量了风险X 的大小。在这个意义上，保费原理一般要求满足风险度量的一致性公理（Artzner et al., 1999）。 在实际运用中，常用的保费原理如下。 在理论上，若能根据样本很好地估计风险随机变量X 的分布FX 或分布的某些特征（如一二阶矩），则保险公司可以选取合适的保费原理，得到该风险的价格估计，称为保费估计。 例1.0.1 设X1;X2; ? ? ? ;Xn 是风险保单X 的n 次观测值，假设为独立同分布的样本，具有共同的分布函数FX（x）。记Fn（x） 为样本X1;X2; ? ? ? ;Xn 的经验分布函数，则根据Borel-Cantelli 引理，有。 然而，在实际中，对某种个体保单的数据量太少而不足以使保费估计具有良好的性质。这时一个可取的办法就是利用相同类型的保单索赔数据，因为保险公司可能已经积累了大量相同类型保单的索赔数据，若把这些数据集中起来，则能大大增加样本容量。但这种保单索赔数据的融合必须基于两条假设：① 其他保单的索赔样本与原样本相互独立；② 其他保单的索赔样本与原样本具有相同的母体分布。若这两个假设成立，则称这些保单组合是齐次的，可以把这些保单组合的数据融合在一起对该保单定价。然而，在实际中，不同保单导致的索赔之间一般不具有共同的分布，甚至可能不是相互独立的，因为影响保单索赔的因素是非常复杂的。以汽车保险为例，车辆类型、司机的年龄和性别、汽车的行驶区域等都影响了保单的潜在索赔。因此，不同保单之间的风险常常是非齐次的。这就引发了一个问题：如何为非齐次的保险制定合理的价格？这个问题正是信度理论研究的核心课题。 第2 章 信度理论介绍 2.1 信度理论解决的精算问题 信度理论是精算学中最重要的经验保费厘定技巧。它是一种经验估费模型。在这个过程中，精算师根据过去的单个风险或者一个保单组合风险的经验数据，调整未来的保险费。一般地，我们的目标是制定某个个体风险（保险合同） 的保费，但是这个保险合同的索赔数据较少，而类似风险的保单组合却有较多的数据，这时是否能结合类似保险合同的数据从而制定该个体保险合同的保费？下面以一个例子说明信度理论提出的背景及意义。 假设某保单组合有K 个独立风险Xi; i = 1; 2; ? ? ? ;K，由这K 个风险导致的总索赔为S =K Xi=1Xi。记H（?） 为保险公司的保费原理，则该保单组合的总保费为H（S），现在的问题是：如何将总保费分摊到各个保单， 即每份保单应缴纳多少保费？若该保单组合风险是齐次的，则显然每份保单缴纳相同的保费1KH （S）是合理的，但看下面的例子。 例2.1.1 设保单组合中有12 份相同类型的保单，每份保单每年缴付相同的保费m = 0:25。假设每份保单产生的索赔为Bernoulli 变量，即取值为0 或1。经过10 年后，得到索赔数据的记录如表2.1 所示。 表2.1 中最后一行xi 表示各保单在10 年内的索赔均值。根据表中的数据，容易算出平均每份保单每年的索赔成本为25120 ? 0:21 < 0:25。因此，保险公司可以保证偿付并获取一定的利润。但是，若去掉保单6、保单9，则平均每份保单每年的索赔成本为 13120 ? 0:11，风险将大大改善，利润将显著提高。若保险公司不采取任何措施，继续收取相同的保险费m = 0:25，则司机1、4、8、12 因为具有良好的驾驶记录而寻找能为他们提供较低费率的保险公司。若是这样的话，平均索赔成本将变为2580 ? 0:3125 > 0:25，则保险公司将亏本经营。当然，除了对每个保险合同收取相同保费m 之外，还有另一种厘定保费的方法，即对不同的保险合同根据他的索赔情况收取不同的保费。当然，保险公司可能认为应该相信数据，决定对各保单今后分别收取的保费为这些年各保单的索赔个体均值xi。这时司机1、4、8、12将因为不需要缴纳任何保费而选择留在该保险公司，而司机6、9，甚至司机7、11等因缴纳的保费太高而离开，保险公司将失去大量保单。事实上，由于个体索赔数据较少，索赔较多的现象可能是由驾驶的偶然因素导致。由这两种不同的厘定保费的方法所引起的保单流失和亏本经营等情况都不是保险公司希望看到的。分析其原因，是保单风险之间的非齐次性导致的，这可由经典的统计理论进行证明。 从上面的分析结果看，保险公司无论是根据保单合同历史数据的均值定价，还是继续实行以前的聚合保费定价方法，都将出现不良后果。因此，在对这种具有非齐次性的保单定价时，传统的保费定价方法面临着大的挑战。解决这种非齐次风险保单定价问题，主要是采用信度原理。信度理论不仅利用个体保单的索赔数据，而且利用相同类型的保单组合数据，定价的保费为两者的加权平均：式中，0 6 Z 6 1 被称为信度因子，是样本容量n 的某个函数。当个体数据的样本容量增大时，Z 趋于1，它反映了个体样本数据的可信度。 信度理论自20 世纪初由精算师作为一种直观想法提出后，许多学者在贝叶斯框架下研究该问题，并得到了统计意义上较好的解释。在理论与实践相结合的过程中，发展并形成了今天的经验厘定信度原理。至今为止，信度理论已经拥有庞大的分支体系，为保险业提供了强大的理论支撑。 2.2 关于信度原理的历史评注 从20 世纪初到现在，信度理论的研究主要经历了两个发展阶段，更确切地说是两个不同的分支：① 建立在频率方法上的有限扰动理论（limited °uctuation）；② 以贝叶斯理论为基础的最大精确度信度理论（greatest accuracy credibility）。这两种方法都是希望通过已有的历史数据来合理地制定保费。 有限扰动理论是Mowbray 于1914 年在对工伤补偿保险（workers' compensa-tion） 进行保费厘定时提出的，而Stellwangen （1925） 将有限扰动理论应用于汽车保险，Perryman （1932） 对有限扰动理论进行了解释。最大精确度信度理论也称为欧式信度理论。最早提出最大精确度信度理论的是Whitney （1918）。他在研究工伤补偿保险的保费厘定时，假设一个雇主拥有P 个雇员，总索赔服从二项分布B（P;M），而索赔概率M 本身也是正态分布随机变量，事实上这正是贝叶斯框架下的二项{正态模型。根据贝叶斯定理可以估计参数M，得到下一期的保费估计具有信度加权的形式。随后Ke?er （1929） 将最大精确度信度原理运用到群体寿险（group life insurance）。Bailey （1945） 运用最小二乘法对最大精确信度理论建立数学模型，得到正态{ 正态、Beta{ 二项等分布模型下的信度估计。真正无分布（任意分布） 的最大精确度信度理论则是B?uhlmann （1967） 建立的。他仍然用最小二乘法，在贝叶斯框架下，将估计限定在样本的线性函数类中，得到的最优保费估计恰好为信度加权形式，从而建立了无分布信度理论。 2.2.1 有限扰动理论 有限扰动信度理论是用于确定完全信度需要的最小样本容量的方法。设b?i 为?i 的完全信度估计，即存在某个临界样本容量n0，使得b?i 落入?i 的100k%（k > 0）置信区间内的概率至少为1 ? "。该问题可简化为求最小样本容量n，使得Pr ???? b?i ? ?i??? 6 k?i?> 1 ? " （2.3）利用正态近似很容易求出最小样本容量n0。

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