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内容简介

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目　　录

第一单元高频题型精炼
第一讲　解题方法
第一节　枚举归纳法
第二节　十字交叉法
第三节　比例份数法
第二讲　方程综合应用
第三讲　数列与平均数
第四讲　最值问题
第五讲　工程问题
第六讲　费用问题
第七讲　行程问题
第八讲　几何问题
第九讲　排列组合问题
第十讲　概率问题

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在线试读部分章节

　　第一单元
　　高频题型精炼
　　第一单元高频题型精炼
　　第一讲解题方法
　　第二讲方程综合应用
　　第三讲数列与平均数
　　第四讲最值问题
　　第五讲工程问题
　　第六讲费用问题
　　第七讲行程问题
　　第八讲几何问题
　　第九讲排列组合问题
　　第十讲概率问题
　　红领培优数量关系·高级第一单元高频题型精炼第一讲解题方法
　　第一节枚举归纳法
　　枚举归纳在数学中是一种非常重要的思想，在数量关系中也是一种比较基础的方法。
　　枚举是将所有需要情况逐个列举。这种方法有时看上去繁琐，但却是找不到解题思路时的最直观思维。
　　归纳在数量关系中往往可以从最初枚举出第一步、第二步、第三步，然后探索、猜测规律，再通过下一步验证，如果未遇反例，就基本可以确定规律。
　　常用题型：日期推断、规律探索、几何计数等。

第一单元 
　　高频题型精炼 
　　第一单元高频题型精炼 
　　第一讲解题方法 
　　第二讲方程综合应用 
　　第三讲数列与平均数 
　　第四讲最值问题 
　　第五讲工程问题 
　　第六讲费用问题 
　　第七讲行程问题 
　　第八讲几何问题 
　　第九讲排列组合问题 
　　第十讲概率问题 
　　红领培优数量关系·高级第一单元高频题型精炼第一讲解题方法 
　　第一节枚举归纳法 
　　枚举归纳在数学中是一种非常重要的思想，在数量关系中也是一种比较基础的方法。 
　　枚举是将所有需要情况逐个列举。这种方法有时看上去繁琐，但却是找不到解题思路时的最直观思维。 
　　归纳在数量关系中往往可以从最初枚举出第一步、第二步、第三步，然后探索、猜测规律，再通过下一步验证，如果未遇反例，就基本可以确定规律。 
　　常用题型：日期推断、规律探索、几何计数等。 
　　【例1】 整数64具有可被它的个位数字整除的性质。试问在10和50之间有多少个整数具有这种性质?（） 
　　A. 15B. 16 
　　C. 17D. 18 
　　【答案】 C 
　　例题精析 枚举法。个位是1、2、5的数都能被其个位数字整除，共3×4=12个；个位是3的只有33；个位是4的有24和44；个位是6的只有36；个位是7的没有；个位是8的只有48；个位是9的没有。故在10和50之间共有17个整数具有这种性质。故本题答案为C。 
　　【例2】 小张每连续工作5天后休息3天，小周每连续工作7天后休息5天。假如3月1日两人都休息，3月2日两人都上班，问三月份有多少天两人都得上班？（） 
　　A. 12B. 14 
　　C. 16D. 18 
　　【答案】 B 
　　例题精析 枚举法。从3月2日开始，上班用“×”表示，休息用“○”表示，则有： 
　　小张：×××××○○○×××××○○○×××××○○○×××××○ 
　　小周：×××××××○○○○○×××××××○○○○○×××××× 
　　易知，小张和小周都上班即同时为“×”的共有14天。故本题答案为B。 
　　【例3】 根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（）。 
　　A. 周一或周三B. 周三或周日 
　　C. 周一或周四D. 周四或周日 
　　【答案】 D 
　　例题精析 枚举法，最直接的做法：简单画日历。画好周一、二、三、四、五、六、日，把日期往里代。代入周一，不符合题意，排除选项A、C；同理代入周三，不符合题意，排除选项B。故本题答案为D。 
　　一二三四五六日178141521222829 
　　【例4】 用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分成2块，第2条直线将平面分成4块，第3条直线将平面分成7块，按此规律，将平面分为22块需（）。 
　　A. 7条直线B. 8条直线 
　　C. 9条直线D. 6条直线 
　　【答案】 D 
　　例题精析 枚举归纳。枚举前4条直线，规律如下： 
　　直线数0123456分割平面块数124711…？ 
　　看规律，猜测第二行是一个二级等差数列，那么下几项是16、22…结合题意可知，猜测正确。故本题答案为D。 
　　第二节十字交叉法 
　　十字交叉法是数学运算题中一种经典的技巧。这种方法实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边“十字交叉”的形式来简化： 
　　Aa+Bb=(A+B)rAB=r－ba－rrA:aB:br-ba-rr-ba-r=AB 
　　【例1】 某超市购进西瓜1000个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%，最后结算时总的利润率为32%，碰裂了多少个西瓜？（） 
　　A. 80B. 75 
　　C. 85D. 78 
　　【答案】 A 
　　例题精析 十字交叉法： 
　　32%未裂：40%碰裂：-60%92%8%未裂碰裂=92%8%=92080，总和为1000个，那么碰裂了80个。 
　　故本题答案为A。 
　　【例2】 一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？（） 
　　A. 3B. 4 
　　C. 5D. 6 
　　【答案】 C 
　　例题精析 十字交叉法： 
　　21241653晴天雨天=53，可知晴天天数是5的倍数。故本题答案为C。 
　　【例3】 某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（） 
　　A. 34B. 36 
　　C. 35D. 37 
　　【答案】 C 
　　例题精析 对A、B两部门运用“十字交叉法”得其人数比例为3∶4，对B、C两部门运用“十字交叉法”得其人数比例为4∶5。根据比例赋值A、B、C三部门分别有3、4、5人，故该单位全体人员的平均年龄为38×3+24×4+42×53+4+5=35（岁）。故本题答案为C。 
　　【例4】 某公司2011年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其他业务收入比上年同期增加10%，那么，该公司2011年前三季度主营业务收入为多少？（） 
　　A. 3920万元 B. 4410万元 
　　C. 4900万元D. 5490万元 
　　【答案】 C 
　　例题精析 设该公司2010年前三季度主营业务收入为x万元，运用十字交叉法： 
　　2%-2%10%8%4%8%4%=2∶1，则x=76501+2%×23=5000，所以2011年前三季度主营业务收入为5000×98%=4900（万元）。故本题答案为C。 
　　【易错点拨】 注意涉及增长率、折扣的十字交叉法，求得的是基期量、折前的量之比。 
　　【例5】 小张去机票代理处为单位团购机票10张，商务舱定价1200元/张，经济舱定价700元/张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的9折付钱，经济舱按定价的6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么小张一共购买的经济舱的票数是（）。 
　　A. 7张B. 6张 
　　C. 9张D. 8张 
　　【答案】 D 
　　例题精析 9折即所付钱数是定价的90%；6折即所付钱数是定价的60%；比定价少31%即所付钱数是定价的69%。运用十字交叉法，注意交叉出的两者之比是折扣前的钱数之比而非票数之比。 
　　69%商务舱折前总价90%经济舱折前总价60%9%21%商务舱折前总价经济舱折前总价=921=37。 
　　而两者单张价格之比是12∶7，所以两者张数之比是37÷127=1∶4，机票总数为10张，那么经济舱是8张。故本题答案为D。 
　　第三节比例份数法 
　　适用题目：形如A=B×C类型的比例问题。 
　　特征：题目出现分数、百分数、比例等。 
　　方法： 
　　1.赋份数法 
　　不赋具体数值，而是赋值份数（本质是方程的一种未知数设法）。 
　　2.比例法 
　　根据正比、反比的关系和比例性质解决费用问题、工程问题、行程问题等典型的比例问题。 
　　【例1】 某商店以每件6元的进价买回商品，再以每件8.4元卖出。当卖了34时，不仅收回了购买所付的款项，还获利90元，问商品一共有多少件？（） 
　　A. 300B. 400 
　　C. 500D. 600 
　　【答案】 A 
　　例题精析 本题出现分数和具体钱数，适用赋份数法。由34可赋值总数为4份，则卖了3份，所以总进价为24，此时的售价总数为25.2，共获利：25.2－24=1.2。实际获利90元，则商品一共有901.2×4=300（件）。故本题答案为A。 
　　【例2】 某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的517，B区人口是A区人口的25，C区人口是D区和E区人口总数的58，A区比C区多3万人。全市共有多少万人？（） 
　　A. 20.4B. 30.6 
　　C. 34.5D. 44.2 
　　【答案】 D 
　　例题精析 赋份数法。由题干中的分数可以假设全市人口为17份，那么A区5份，B区2份，C区+D区+E区=10份，C区=58（D区+E区）=513（C区+D区+E区）=5013份，A区-C区=1513份，进而可以得到1份是135万人，所以全市人口为17×135=44.2万人。故本题答案为D。 
　　【回顾知识点】 若a=mnb(m,n互质)，则a=mm+n（a+b）。 
　　【例3】 同时打开游泳池的A、B两个进水管，加满水需1小时30分钟，且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管，加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米？（） 
　　A. 6B. 7 
　　C. 8D. 9 
　　【答案】 B 
　　例题精析 赋份数法。由题干中的90分钟、160分钟可以假设总水量为9×10×16份，那么效率为A+B=16份，A=9份，所以B=7份，答案一定是7的倍数。故本题答案为B。 
　　【例4】 甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%。如果一个人坐公交车从甲地到乙地，再从乙地步行到甲地，一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间？（） 
　　A. 10分钟B. 20分钟 
　　C. 30分钟D. 40分钟 
　　【答案】 B 
　　例题精析 根据题意可知，步行、骑车、公交的速度比为1∶4∶8，走相同路程的时间比为8∶2∶1。根据题意，（1+8）份的时间共计90分钟，则骑车从甲地去乙地的时间为2份，共计20分钟。故本题答案为B。 
　　本讲练习 
　　【习题1】 已知一对幼兔能在一个月后长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一个月后生出一对幼兔，如果现在给你一对幼兔，一年后共有（）对兔子。（假设每对兔子都为雌雄各一只） 
　　A. 55B. 89 
　　C. 144D. 233 
　　【习题2】 有8级台阶，一位小朋友从下往上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去可能有多少种不同方法？（） 
　　A. 21B. 29 
　　C. 34D. 35 
　　【习题3】 两个水桶共盛40千克水，如果把第一个水桶里的8千克水倒入第二个水桶里，则两个水桶里的水一样多，原来第二桶水重多少千克？（） 
　　A. 21B. 18 
　　C. 12D. 10 
　　【习题4】 用2、4、5、7这四个不同的数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第（）个数。 
　　A. 19B. 20 
　　C. 18D. 17 
　　【习题5】 小张到文具店采购办公用品，买了红黑两种笔共66支。红笔定价为每支5元，黑笔的定价为每支9元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比核定价少18%，那么他买了红笔（）。 
　　A. 36支B. 34支 
　　C. 32支D. 30支 
　　【习题6】  甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为 62%。如果每种酒精取的数量比原来都多15升，混合后纯酒精含量为63.25%。问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？（） 
　　A. 12升、30升B. 24升、60升 
　　C. 30升、12升D. 16升、40升 
　　【习题7】  某人持有两只股票，某日收盘时A股损失2%，B股上涨10%，且两只股票总价值为22950元，总体上涨2%，则收盘时A股价值为（）元。 
　　A. 15000B. 14700 
　　C. 15450D. 7500 
　　【习题8】 一批手机，商店按期望获得100%的利润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折扣是（）。 
　　A. 六折B. 七折 
　　C. 八五折D. 九折 
　　参考答案及解析 
　　【习题1】 D 
　　【解析】 根据题意，第T＋1期与第T期的兔子数之差＝第T期出生的小兔子数＝第T期的成年兔子数＝第T-1期的兔子数。因此可以得到：第T＋1期的兔子数＝第T期的兔子数＋第T-1期的兔子数。因此可列表格： 
　　月数123456789101112兔子数量（对）123581321345589144233 
　　因此根据上表可知，一年过后兔子共有233对，故本题选D。 
　　【习题2】 C 
　　【解析】 分1—8级台阶的走法,依次列出走上每级台阶的方法种数为：1、2、3、5、8、13、21、34，因此本题选C。 
　　【习题3】 C 
　　【解析】 根据题意，将第一个水桶里的8千克水倒入第二个水桶之后，第二桶水有40÷2=20(千克)，说明原来第二桶水重20－8=12(千克)。因此本题选C。 
　　【习题4】 B 
　　【解析】 一共有24个四位数，则其中比7254大的有7542、7524、7452、7425这四个数，因此从小到大排列，7254是第20个数。因此本题选B。 
　　【习题5】 A 
　　【解析】 假设买红笔x支，黑笔y支，运用十字交叉法： 
　　0.82红笔总价5x0.85黑笔总价9y0.800.020.035x9y=23xy=65 
　　买了两种笔共66支，所以红笔买了36支，故本题选A。 
　　【习题6】 A 
　　【解析】 本题可用十字交叉法，得到的比值为混合时取出的甲、乙两种溶液的体积之比。第一次混合的情况，使用十字交叉法如下： 
　　62%72%58%4%10% 
　　可得出第一次混合时取出的甲、乙两种溶液的体积之比为4%∶10%＝2∶5。同理，由十字交叉法可得第二次混合时取出的甲、乙两种溶液的体积之比为3∶5。设第一次混合时取出的甲、乙两种溶液的体积分别为2x、5x，则可得2x+155x+15=35，解得x＝6，故第一次混合时取出的甲、乙两种溶液分别为12升、30升。因此，本题答案选择A。 
　　【习题7】 B 
　　【解析】 本题考查增长率问题。十字交叉法表示如下： 
　　102%98%110%8%4% 
　　可以得到A、B两股的原价值之比为A∶B＝8%∶4%＝2∶1，因此A股的原价值为22950÷102%×23＝15000（元），收盘时A股损失2%，则收盘时的价格为15000×（1－2%）＝14700（元）。因此，本题答案选择B。 
　　【习题8】 C 
　　【解析】 设新利润为x%，运用十字交叉法： 
　　91%原价100%现价x%(91-x)%70%9% 30% 
　　则可得到91－x9=7030，解得x＝70。所以商店的折扣为（1＋70%）÷（1＋100％）＝85%，即八五折。因此，本题答案选择C。 
　　第二讲方程综合应用 
　　方程法是一种极其常用的解题方法。 
　　难点：设未知数、列方程、解不定方程（组）。 
　　【例1】 一桶水含桶共重20千克，第一次倒掉水量的12，第二次倒掉剩余水量的13，第三次倒掉剩余水量的14，第四次倒掉剩余水量的15，最终水和桶共重5.6千克，问桶的重量为多少千克？（） 
　　A. 1.2B. 1.6 
　　C. 2D. 2.4 
　　【答案】 C 
　　例题精析 注意读懂题意，找到等量关系。设桶重x千克，开始的水重y千克，则第四次倒掉后还剩水的比例为12×23×34×45=15，所以x+y=20 
　　x+y5=5.6 ，解得x=2。因此，本题答案为C选项。 
　　【例2】 某市园林部门计划对市区内30处绿化带进行补栽，每处绿化带补栽方案可从甲、乙两种方案中任选其中一种方案进行。甲方案补栽阔叶树80株，针叶树40株；乙方案补栽阔叶树50株，针叶树90株。现有阔叶树苗2070株，针叶树苗1800株，为最大限度利用这批树苗，甲、乙两种方案应各选（）。 
　　A. 甲方案19个、乙方案11个B. 甲方案20个、乙方案10个 
　　C. 甲方案17个、乙方案13个D. 甲方案18个、乙方案12个 
　　【答案】 D 
　　例题精析 这道题是要求最大限度利用树苗，就是使剩下的树苗数目最少。我们可以把题目转换为：设甲方案选x个，乙方案选y个，则所剩树苗为2070-(80x+50y)+1800-(40x+90y)且需要满足2070≥80x+50y，1800≥40x+90y。 
　　代入各选项可得：A选项19×80+11×50=2070，19×40+11×90=1750，阔叶树正好栽完，针叶树还剩50株；B选项20×80+10×50=2100，阔叶树不够，排除；C选项17×80+13×50=2010，阔叶树还剩60株，不如A选项的方案，排除；D选项18×80+12×50=2040，18×40+12×90=1800，阔叶树还剩30株，针叶树全部栽完，优于A选项的方案。因此，本题答案选择D选项。 
　　【技巧点拨】 方程组无整数解，且较为复杂。考虑居中代入，代入选项后找到最接近总株树的答案即为最优。 
　　【例3】 甲购买了A、B、C三种书籍各若干本捐赠给希望小学。其中B书籍比C书籍少3本，比A书籍多2本；B书籍的单价比A书籍低4元，比C书籍高4元。其购买B书籍的总开销与C书籍相当，比A书籍少4元。问甲购买三种书籍一共用了多少元？（） 
　　A. 724B. 772C. 940D. 1084 
　　【答案】 D 
　　例题精析 设购买B书籍的总数为x本，单价为y元；则A书籍的总数为（x-2）本，单价为（y+4）元；C书籍的总数为（x+3）本，单价为（y-4）元。由题意列方程组得xy=（x+3）×（y-4），xy=（x-2）×（y+4）-4；解得x=15，y=24。故购买三种书籍一共花了15×24×3+4=1084（元）。因此，本题答案选择D选项。 
　　【技巧点拨】 题目给出的等量关系较多，在设未知数时要做到最优化。 
　　【例4】 某人银行账户今年底余额减去1500元后，正好比去年底余额减少了25%，去年底余额比前年底余额的120%少2000元。则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额（）。 
　　A. 少10%B. 多1

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