投资组合优化模型与智能算法研究

粒子群算法

Eberhart和Kennedy (1995) 提出了粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法。PSO算法的运行机理不是依靠个体的自然进化规律，而是对生物群体的社会行为进行模拟，它最早源于对鸟群觅食行为的研究。在生物群体中存在着个体与个体、个体与群体间的相互作用、相互影响的行为，这种行为体现的是一种存在于生物群体中的信息共享机制。PSO算法就是对这种社会行为的模拟，即利用信息共享机制，使得个体间可以相互借鉴经验，从而促进整个群体的发展。此外，粒子群算法概念简单，容易实现，需要调节的参数偏少。因此，粒子群算法越来越受到人们的关注，其研究成为国内外的热点。但是在实际应用中发现粒子群优化易“早熟”，并且精度不高。基于此，大量学者对此算法进行了深入的研究，提出了许多改进方法和策略，如Shi和Eberhart (1998), Kennedy和Eberhart (2001), Clerc和Kennedy (2002), Trelea (2003), Voss (2005), Beheshti (2013), Mahmoodabadi等 (2014)。

PSO算法中每个粒子即解空间中的一个解，它根据自己的飞行经验和同伴的飞行经验来调整自己的飞行。每个粒子在飞行过程所经历过的最好位置，就是粒子本身找到的最优解。整个群体所经历过的最好位置，就是整个群体目前找到的最优解。前者叫作个体极值(pBest)，后者叫作全局极值(gBest)。每个粒子都通过上述两个极值不断更新自己，从而产生新一代群体。实际操作中通过由优化问题所决定的适应度函数值(Fitness Value)来评价粒子的“好坏”程度。显然，每个粒子的行为就是追随着当前的最优粒子在解空间中搜索。

在基本PSO中，先在可行解空间中随机初始化 N 个粒子构成初始种群，并为每个粒子随机初始化一个速度，每个粒子都对应优化问题的一个解，并由目标函数为之确定一个适应值，而速度用来决定粒子在解空间中的运动。在算法的每次迭代中，粒子将跟踪自身当前找到的最优解和种群当前找到的最优解，逐代搜索,直到最后得到最优解。在 D 维搜索空间中，记第 i 个粒子的位置 xi=(xi1,xi2,…,xiD)′ ，其“飞行”速度为 vi=(vi1,vi2,…,viD)′ 。每个粒子当前找到的极值为 pi=(pi1,pi2,…,piD)′ ，种群当前找到的全局极值为 pg=(pg1,pg2,…,pgD)′ 。下一代粒子的位置和速度为：

xi+1=xi+vi(2.15)

vi+1=wvi+c1r1(pi-xi)+c2r2(pg-xi)(2.16)

式中， d=1,2,…,D ， i=1,2,…,N ， N 是粒子个数； k 表示迭代的次数；w是惯性权重，它是微粒保持运动的惯性，使其有能力探索新的区域； c1 , c2 为学习因子，它是一个正常数，它们使每个微粒向pBest和gBest位置加速运动； r1,r2 是［0,1］之间的随机数。此外，粒子的速度 Vi 被一最大速度 Vmax 所限制。如果当前对粒子的加速导致它在某维的速度 Vid 超过了该维的最大速度 Vmax d ，则该维的速度被限制为该维的最大速度 Vmax d 。最大速度限制决定了粒子在解空间的搜索精度，如果 Vmax 太高，粒子可能会飞过最优解，如果 Vmax 太小，粒子则会陷入局部搜索空间而无法进行全局搜索。