高等数学（下册）同步练习与模拟试题pdf/txt下载_在线阅读全文

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本书是高等院校工科类、经管类本科生学习《高等数学（下册）》课程的辅导用书，也是一本不错的基础复习阶段的考研辅导用书。作者授课经验丰富，前期作为讲义已在课堂使用多年。

内容简介

本书内容分为两大部分，*部分为“同步练习”，该部分主要包括4个模块，即内容提要，典型例题分析，习题精选和习题详解，旨在帮助读者尽快掌握《高等数学（下册）》课程中的基本内容、基本方法和解题技巧，提高学习效率．第二部分为“模拟试题及详解”，该部分给出了10套模拟试题，并给出了详细解答的过程，旨在检验读者的学习效果，快速提升读者的综合能力．

作者简介

刘强理学博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长,兼任全国工业统计教学研究会常务理事兼常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，北京大数据协会理事等．主讲本科生课程：微积分，线性代数，概率论与数理统计，高等数学，多元统计分析，数学竞赛等；主讲研究生课程：高等数理统计，应用数理统计，数据分析与R语言等；主讲博士生课程：非参与半参数回归等．主要研究方向：经济数据分析，非参数计量经济和复杂数据分析等．

目　　录

目录

第一部分同步练习

第8章空间解析几何与向量代数

8.1知识要点

8.1.1向量的概念及线性运算

8.1.2曲面及其方程

目录
 
 
 
第一部分同 步 练 习
 
第8章空间解析几何与向量代数
 
8.1知识要点
 
8.1.1向量的概念及线性运算
 
8.1.2曲面及其方程
 
8.1.3空间曲线及其方程
 
8.1.4平面及其方程
 
8.1.5直线及其表示
 
8.2典型例题分析
 
8.2.1题型一向量代数的相关问题
 
8.2.2题型二空间曲线与曲面的相关问题
 
8.2.3题型三平面方程的求解
 
8.2.4题型四直线方程的求解
 
8.2.5题型五直线与平面的关系问题
 
8.3习题精选
 
8.4习题详解
 
第9章多元函数微分法及其应用
 
9.1内容提要
 
9.1.1多元函数的定义
 
9.1.2二元函数的极限与连续
 
9.1.3偏导数
 
9.1.4全微分
 
9.1.5高阶偏导数
 
9.1.6复合函数求导法则
 
9.1.7隐函数求导法则
 
9.1.8多元函数微分学的几何应用
 
9.1.9方向导数与梯度
 
9.1.10多元函数的极值
 
9.2典型例题分析
 
9.2.1题型一函数定义域及表达式的求解
 
9.2.2题型二二元函数极限的存在性问题
 
9.2.3题型三多元函数偏导数的求解问题
 
9.2.4题型四利用定义讨论函数在某点处的可微性
 
9.2.5题型五全微分的求解问题
 
9.2.6题型六复合函数的偏导数的证明与计算
 
9.2.7题型七抽象复合函数的高阶偏导数的求解问题
 
9.2.8题型八隐函数偏导数的求解问题
 
9.2.9题型九多元函数微分法及其应用问题
 
9.2.10题型十方向导数与梯度问题
 
9.2.11题型十一函数的无条件极值问题
 
9.2.12题型十二实际应用问题
 
9.3习题精选
 
9.4习题详解
 
第10章重积分
 
10.1内容提要
 
10.1.1二重积分的概念
 
10.1.2二重积分的性质
 
10.1.3利用直角坐标系计算二重积分
 
10.1.4利用极坐标计算二重积分
 
10.1.5三重积分的概念与计算
 
10.1.6重积分的应用
 
10.2典型例题分析
 
10.2.1题型一二次积分的换序问题
 
10.2.2题型二二重积分的求解问题
 
10.2.3题型三利用极坐标计算二重积分
 
10.2.4题型四三重积分的计算
 
10.2.5题型五积分的应用问题
 
10.3习题精选
 
10.4习题详解
 
第11章曲线积分与曲面积分
 
11.1知识要点
 
11.1.1第一类曲线积分的概念及计算
 
 
11.1.2第二类曲线积分的概念及计算
 
11.1.3格林公式及其应用
 
11.1.4第一类曲面积分的概念与计算
 
11.1.5第二类曲面积分的概念与计算
 
11.1.6高斯公式与斯托克斯公式
 
11.2典型例题分析
 
11.2.1题型一第一类曲线积分的求解
 
11.2.2题型二第二类曲线积分的求解
 
11.2.3题型三格林公式的应用
 
11.2.4题型四第一类曲面积分的求解
 
11.2.5题型五第二类曲面积分的求解
 
11.2.6题型六高斯公式的应用  
 
11.2.7题型七斯托克斯公式的应用 
 
11.2.8题型八曲线、曲面积分的实际应用
 
11.3习题精选
 
11.4习题详解
 
第12章无穷级数
 
12.1内容提要
 
12.1.1常数项级数的概念
 
12.1.2无穷级数的性质
 
12.1.3常见级数的敛散性
 
12.1.4正项级数的审敛法
 
12.1.5任意项级数的敛散性
 
12.1.6函数项级数的概念
 
12.1.7幂级数及其收敛性
 
12.1.8幂级数的和函数的性质
 
12.1.9函数的幂级数展开
 
12.1.10函数的幂级数展开的应用
 
*12.1.11函数项级数的一致收敛性及性质
 
12.1.12傅里叶级数
 
12.1.13一般周期函数的傅里叶级数
 
12.2典型例题分析
 
12.2.1题型一利用定义判定级数的敛散性
 
12.2.2题型二利用级数性质判定级数的敛散性
 
12.2.3题型三正项级数敛散性的判别
 
12.2.4题型四条件收敛与绝对收敛问题
 
12.2.5题型五幂级数的收敛域与和函数的求解
 
12.2.6题型六利用间接展开法将函数展开成幂级数
 
12.2.7题型七函数的幂级数展开式的应用
 
12.2.8题型八函数项级数收敛域的求解
 
*12.2.9题型九函数项级数一致收敛性判定
 
12.2.10题型十傅里叶级数的相关问题
 
12.3习题精选
 
12.4习题详解
 
第二部分模拟试题及详解
 
模拟试题一
 
模拟试题二
 
模拟试题三
 
模拟试题四
 
模拟试题五
 
模拟试题六
 
模拟试题七
 
模拟试题八
 
模拟试题九
 
模拟试题十
 
模拟试题一详解
 
模拟试题二详解
 
模拟试题三详解
 
模拟试题四详解
 
模拟试题五详解
 
模拟试题六详解
 
模拟试题七详解
 
模拟试题八详解
 
模拟试题九详解
 
模拟试题十详解
 
参考文献

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前　　言

前言

前言 随着经济的发展、科技的进步，数学在经济、管理、金融、生物、信息、医药等众多领域发挥着越来越重要的作用，数学思想和方法的学习与灵活运用已经成为当今高等院校人才培养的基本要求．然而，很多学生在学习的过程中，对于一些重要的数学思想、数学方法难以把握，对一些常见题型存在困惑、常常感觉无从下手，对数学的理解往往只注重某些具体的知识点而体会不出蕴含在其中的思想和方法．为了让学生更好、更快地掌握所学知识，同时又结合部分学生考研的需要，我们编写了高等院校工科类、经济管理类数学系列辅导丛书，该丛书包括《微积分》《高等数学》《线性代数》和《概率论与数理统计》四门数学课程的辅导用书，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书的主编．本书为《高等数学》（下册）部分，编写的主要目的有两个，一是帮助学生更好地学习《高等数学》课程，熟练掌握教材中的一些基本概念、基本理论和基本方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，以达到工科类专业对学生数学能力培养的基本要求； 二是为了满足学生报考研究生的需要，结合编者多年来的教学经验，精选了部分经典考题，使学生对考研题的难度和深度有一个总体的认识．全书内容分为两大部分： 第一部分是同步练习，该部分共有7章，每章包含四个模块，即内容提要、典型例题分析、习题精选以及习题详解，具体模块内容为：一、 内容提要： 本模块通过对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理、归纳总结，详细解答了读者在学习过程中可能遇到的各种疑难问题．二、 典型例题分析： 本模块是作者在多年来教学经验的基础上，创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典习题，按照知识结构、解题思路、解题方法对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．三、 习题精选： 本模块精心选编了部分具有代表性的习题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果．四、 习题详解： 本模块对精选习题部分给出了详细解答，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，提高读者的分析能力和发散性思维能力．第二部分是模拟试题及详解． 该部分包含两个模块，即模拟试题与模拟试题详解.本部分共给出了10套模拟试题，并给出了详细解答过程，主要目的是检验读者的学习效果，提高读者的综合能力．为了便于读者阅读本书，书中的选学内容将用*标出，有一定难度的结论、例题和综合练习题等将用**标出，初学者可以略过．本书的前身是一本辅导讲义，在首都经济贸易大学已经使用过多年，其间修订过多版，本次应清华大学出版社邀请，作者将该辅导讲义进行了系统的整理、改编，几经易稿，终成本书．本书共分5章，其中第8、11章由袁安锋编写，第9、10章由孙激流编写，第12章由刘强编写，模拟试题及详解部分由编写组共同完成，最后由刘强负责统一定稿．本书可以作为高等院校工科类、经济管理类本科生学习《高等数学》的辅导资料； 对于准备报考硕士研究生的本科生而言，本书也是一本不错的基础复习阶段数学参考用书．本丛书在编写过程中，得到了北京工业大学薛留根教授，北京工商大学曹显兵教授，江苏师范大学赵鹏教授，中央财经大学贾尚晖教授，昆明理工大学吴刘仓教授，首都经济贸易大学马立平教授、张宝学教授、任韬副教授，北京化工大学李志强副教授以及同事们的大力支持，清华大学出版社的编辑彭欣女士和刘志彬主任也为本丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．由于作者水平有限，尽管我们付出了很大努力，但书中仍可能存在疏漏之处，恳请读者和同行不吝指正．我们的电子邮件： cuebliuqiang@163.com. 作者

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媒体评论

在线试读部分章节

第一部分同步练习

第8章空间解析几何与向量代数
8.1知识要点8.1.1向量的概念及线性运算1. 向量及其表示

（1）向量：既有大小又有方向的量称为向量，记为a.向量的大小称为向量的模,记作‖a‖或|a|.（2）向量的表示：向量在几何上可用有向线段来表示，以点M为起点，点N为终点的有向线段是一个向量，记为MN.数学上研究与起点无关的自由向量.（3）向量的坐标与模长：在空间直角坐标系下，设点M的坐标为(a1,b1,c1)，点N的坐标为(a2,b2,c2)，则向量MN的坐标为(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，该向量的模长为
|MN|=(a2-a1)2 (b2-b1)2 (c2-c1)2．

（4）方向余弦：向量a=(ax,ay,az)的方向余弦为
cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|．
方向余弦满足cos2α cos2β cos2γ=1．2. 向量的运算

图8.1
（1）加法与减法．向量的加减法满足平行四边形法则，如图8.1所示：
AB AD=AC，AD-AB=BD．

第一部分同步练习 第8章空间解析几何与向量代数 8.1知识要点8.1.1向量的概念及线性运算1. 向量及其表示 （1） 向量： 既有大小又有方向的量称为向量，记为a.向量的大小称为向量的模,记作‖a‖或|a|.（2） 向量的表示： 向量在几何上可用有向线段来表示，以点M为起点，点N为终点的有向线段是一个向量，记为MN.数学上研究与起点无关的自由向量.（3） 向量的坐标与模长： 在空间直角坐标系下，设点M的坐标为(a1,b1,c1)，点N的坐标为(a2,b2,c2)，则向量MN的坐标为(a2-a1,b2-b1,c2-c1)，该向量的模长为 |MN|=(a2-a1)2 (b2-b1)2 (c2-c1)2． （4） 方向余弦： 向量a=(ax,ay,az)的方向余弦为 cosα=ax|a|,cosβ=ay|a|,cosγ=az|a|． 方向余弦满足cos2α cos2β cos2γ=1．2. 向量的运算 图8.1 （1） 加法与减法．向量的加减法满足平行四边形法则，如图8.1所示：  AB AD=AC，AD-AB=BD． 设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a±b=(ax±bx,ay±by,az±bz).（2） 向量的数乘．设向量a=(ax,ay,az)，λ为实数，则λa=(λax,λay,λaz).（3） 向量a与b的数量积为a·b=|a|·|b|·cosθ，式中θ为向量a与b的夹角.设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则a·b=axbx ayby azbz.（4） 向量a与b的向量积为a×b=|a|·|b|·sinθ·ec，其中θ为向量a与b的夹角，ec为同时垂直于a与b的向量，向量a，b，ec成右手系； |a×b|等于以a和b为邻边的平行四边形面积.设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，则 a×b=ijkaxayazbxbybz=ayazbybz,azaxbzbx,axaybxby． *（5） 向量a，b，c的混合积为 ［a,b,c］=a×b×c．设向量a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，则 a×b×c=axayazbxbybzcxcycz． |a×b×c|等于以a,b和c为边的平行六面体的体积.3. 向量间的关系设a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)均为非零向量.（1） 向量a=b的充分必要条件为ax=bx,ay=by,az=bz.（2） cosθ=a·b|a||b|，式中θ为向量a与b的夹角.（3） 射影表示式为： 当a≠0时，a·b=|a|Prjab； 当b≠0时，a·b=|b|Prjba.（4） a与b平行的充要条件是axbx=ayby=azbz．（5） a与b垂直的充要条件是axbx ayby azbz=0．（6） 向量a，b，c共面的充要条件为 axayazbxbybzcxcycz=0． 8.1.2曲面及其方程曲面的一般方程为 F(x,y,z)=0或z=f(x,y)等. （1） 球面： 一般方程为x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d=0，常化为标准方程 (x-x0)2 (y-y0)2 (z-z0)2=R2， 其中(x0,y0,z0)为球心; R为半径.（2） 旋转曲面： F(y,z)=0 x=0绕y轴旋转一周所得曲面为F(y,±z2 x2)=0，绕z轴旋转一周所得曲面为F(±y2 z2,z)=0； 类似可得其他坐标平面上的曲线绕同一坐标平面内的坐标轴旋转一周所得曲面的方程.（3） 柱面： 方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴，准线为F(x,y)=0 z=0的柱面； 方程F(y,z)=0表示母线平行于x轴，准线为F(y,z)=0 x=0的柱面； 方程F(z,x)=0表示母线平行于y轴，准线为F(z,x)=0 y=0的柱面.（4） 常见二次曲面的标准方程椭圆锥面 x2a2 y2b2=z2； 椭球面： x2a2 y2b2 z2c2=1； 单叶双曲面： x2a2 y2b2-z2c2=1； 双叶双曲面： x2a2-y2b2-z2c2=1； 椭圆抛物面： x2a2 y2b2=z； 双叶抛物面： x2a2-y2b2=z． 8.1.3空间曲线及其方程（1） 两张曲面的交线为曲线．其一般方程为F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0．（2） 参数式方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t). 这里为t参数．（3） 空间曲线在坐标平面上的投影设l:F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0，消去z，得H(x,y)=0，则曲线H(x,y)=0 z=0为曲线l在xOy面上的投影．在其余面上的投影方法类似．8.1.4平面及其方程平面与三元一次方程一一对应.1. 平面的点法式方程过点(x0,y0,z0)，以非零向量r=(A,B,C)为法向量的平面方程为A(x-x0) B(y-y0) C(z-z0)=0.2. 平面的一般式方程在点法式方程中，令D=-(Ax0 By0 Cz0)，得到形如Ax By Cz D=0的方程.3. 平面的截距式方程平面在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c，当abc≠0时，平面的方程为xa yb zc=1.4. 平面的三点式方程设Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3)为平面上不共线的三点，则有平面方程 x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0. 5. 两个平面之间的关系 设平面π1:A1x B1y C1z D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量； 平面π2:A2x B2y C2z D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.（1） 平行： π1∥π2n1∥n2n1=λn2(λ≠0)n1×n2=0A1A2=B1B2=C1C2； （2） 垂直： π1⊥π2n1⊥n2n1·n2=0A1A2 B1B2 C1C2=0； （3） 相交： A1A2=B1B2=C1C2不成立； （4） 重合： A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.6. 两平面的夹角设平面π1:A1x B1y C1z D1=0，其中n1=(A1,B1,C1)为平面的法向量； 平面π2:A2x B2y C2z D2=0，其中n2=(A2,B2,C2)为平面的法向量.θ为两平面的夹角，则 cosθ=|A1A2 B1B2 C1C2|A21 B21 C21A22 B22 C22. 7. 点到平面的距离公式 点P(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D=0的距离为 d=|Ax0 By0 Cz0 D|A2 B2 C2． 8. 两个平行平面之间的距离公式 设平面π1:Ax By Cz D1=0，平面π2:Ax By Cz D2=0，其中r=(A,B,C)为这两个平面的法向量.则两个平面之间的距离为 d=|D1-D2|A2 B2 C2． 8.1.5直线及其表示（1） 直线的一般式方程： 两张平面交于一条直线，得直线方程 A1x B1y C1z D1=0 A2x B2y C2z D2=0. （2） 直线的点向式方程（标准式方程）： 过点P(x0,y0,z0)，方向为τ=(m,n,p)的直线方程为 x-x0m=y-y0n=z-z0p. （3） 直线的参数式方程： 点向式方程中，令x-x0m=y-y0n=z-z0p=t，得 x=x0 mt,y=y0 nt,z=z0 pt, 其中t为参数．（4） 两条直线之间的关系设直线l1:x-x1m1=y-y1n1=z-z1p1，其中s1=(m1,n1,p1)为直线的方向向量； 直线l2:x-x2m2=y-y2n2=z-z2p2，其中s2=(m2,n2,p2)为直线的方向向量.① 平行： l1∥l2s1∥s2s1=λs2(λ≠0)s1×s2=0m1m2=n1n2=p1p2； ② 垂直： l1⊥l2s1⊥s2s1·s2=0m1m2 n1n2 p1p2=0.③ 两直线的夹角： 记θ为两直线的夹角，则 cosθ=|m1m2 n1n2 p1p2|m21 n21 p21m22 n22 p22. （5） 点到直线的距离： 直线L的方向向量为τ，P为L上一点，则点Q到直线L的距离为 d=|PQ×τ||τ|． （6） 两条异面直线间的距离： M1为直线L1上一点，M2为直线L2上一点，L1与L2的方向分别为τ1与τ2，则直线L1和L2的公垂线长  d=|P1P2·(τ1×τ2)||τ1×τ2|． （7） 直线与平面的关系设平面π:Ax By Cz D=0，其中n=(A,B,C)为平面的法向量，直线l:x-x0m=y-y0n=z-z0p，其中s=(m,n,p)为直线的方向向量.① 平行： π∥ln⊥s n·s=0Am Bn Cp=0； ② 垂直： π⊥ln∥s n=λs(λ≠0)n×s=0Am=Bn=Cp； ③ 直线在平面上： n·s=0，且Ax0 By0 Cz0 D=0.（8） 过直线l： A1x B1y C1z D1=0 A2x B2y C2z D2=0的平面束方程是 λ(A1x B1y C1z D1) μ(A2x B2y C2z D2)=0 或 A1x B1y C1z D1 λ(A2x B2y C2z D2)=0， 其中λ和μ为参数.注第二个式子中不包含平面A2x B2y C2z D2=0. 8.2典型例题分析8.2.1题型一向量代数的相关问题 例8.1若a=4m-n,b=m 2n,c=2m-3n,式中|m|=2,|n|=1,(m,n)=π2,化简表达式a·c 3a·b-2b·c 1.解a·c 3a·b-2b·c 1=(4m-n)·(2m-3n) 3(4m-n)·(m 2n)-2(m 2n)·(2m-3n) 1=16|m|2 9|n|2 1=16×4 9×1 1=74.例8.2设a,b为两个非零向量，λ为非零常数，若向量a λb垂直于向量b，则λ等于（）.（A） a·b|b|2； （B） -a·b|b|2； （C） 1； （D） a·b.解所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式．如果a λb垂直于向量b，因此应有(a λb)·b=0，整理得a·b λb·b=0，即 a·b λ|b|2=0， 由于b为非零向量，因而应有λ=-a·b|b|2，故应选（B）.例8.3设A=2a b,B=ka b,其中|a|=1，|b|=2，a⊥b，问k为何值时,A与B为邻边的平行四边形面积为6.解由于 A×B=(2a b)×(ka b)=(2-k)(a×b)， 平行四边形面积为A×B的模.所以 6=|A×B|=|2-k|·|a‖b|sin(a,b)=|2-k|·2, 即有k-2=±3,所以 k1=5,k2=-1. 8.2.2题型二空间曲线与曲面的相关问题例8.4求旋转抛物面z=x2 y2与平面y z=1交线在xOy平面上投影方程.解从曲线方程z=x2 y2 y z=1中消去z，得曲线向xOy平面得投影柱面方程x2 y2 y=1.于是曲线在xOy平面得投影曲线的方程为 x2 y 122=54z=0. 例8.5求由上半球面z=4-x2-y2和锥面z=3(x2 y2)所围成立体在xOy面上的投影.解由方程z=4-x2-y2和z=3(x2 y2)消去z得到x2 y2=1.这是一个母线平行于z轴的圆柱面，这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面， 因此交线C在xOy面上的投影曲线为  x2 y2=1 z=0. 这是xOy面上的一个圆， 于是所求立体在xOy面上的投影， 就是该圆在xOy面上所围的部分 x2 y2≤1.例8.6求直线L:x=1-2ty=3 tz=2-3t在三个坐标面上的投影.解在三个坐标面上的投影分别为（1） 在xOy平面上： x=1-2ty=3 tz=0； （2） 在xOz 平面x=1-2ty=0z=2-3t； （3） 在yOz平面上x=0y=3 tz=2-3t.8.2.3题型三平面方程的求解例8.7求通过三平面2x y-z=0,x-3y z 1=0和x y z-3=0的交点,且平行于平面x y 2z=0的平面方程.解所求平面平行于x y 2z=0,所以该平面的法向量为(1,1,2).三平面的交点为 2x y-z-2=0x-3y z 1=0x y z-3=0, 解得x=1,y=1,z=1.所以所求平面为 (x-1) (y-1) 2(z-1)=0， 即x y 2z-4=0.例8.8一平面通过两点M1(1,1,1)，M2(0,1,-1)且垂直于平面x y z-4=0，求它的方程.解由已知条件知，向量M1M2=(-1,0,-2)与平面x y z-4=0的法向量n=(1,1,1)的向量积M1M2×n即为所求平面的法向量 M1M2×n=ijk-10-2111=(2,-1,-1)， 由点法式方程可知2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0为所求平面.例8.9求平面x-y 2z-6=0与平面2x y z-5=0的夹角，并判别坐标原点到哪个平面距离更近.解设n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1)为两平面π1与π2的法向量，则π1与π2夹角余弦为 cosθ=n1·n2n1|·|n2|=|1×2 (-1)×1 2×1|12 (-1)2 22·22 12 12=12， 故两平面夹角θ=π3，原点到π1与π2距离分别为 d1=|0-0 2×0-6|12 (-1)2 22=6，d2=|2×0 0 0-5|22 12 12=56，d1＞d2， 故平面2x y z-5=0与原点距离更近.8.2.4题型四直线方程的求解例8.10求过点P(2,1,3)且与直线l:x 13=y-12=z-1垂直相交的直线方程.解法1作平面π经过P点，且与直线l垂直，平面π的方程为

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