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　　《时滞动力学系统的分岔与混沌(下册)》可作为高等院校电子工程、计算机、控制理论与应用、应用数学等相关专业高年级本科生、研究生的教材和参考书，也可作为相关教师和科研人员的参考用书。

内容简介

　　时滞动力学系统广泛存在于自然科学、工程和社会科学等诸多领域中。《时滞动力学系统的分岔与混沌(下册)》介绍了研究时滞动力学系统分岔的基本方法,同时涵盖目前研究的一些最近成果。《时滞动力学系统的分岔与混沌(下册)》从理论与数值模拟上系统地讨论了时滞动力学系统，尤其是时滞神经网络出现各种分岔及混沌产生的可能性，获得了一些新的理论结果。分上、下两册，共7章，下册包括三个神经元时滞系统的分岔、高阶时滞神经网络模型，以及在工程中的其他时滞动态模型和时滞混沌系统等内容。

目　　录

<pre>前言
第4章 三个神经元时滞系统的分岔
 4.1 三维神经元时滞系统的稳定性与分岔
 4.1.1 引言
 4.1.2 固定时滞的稳定性
 4.1.3 依赖于时滞的稳定性
 4.1.4 讨论
 4.2 环形联接的三阶神经元时滞模型的分岔
 4.2.1 模型的引入与线性稳定性分析
 4.2.2 中心流形缩减与Hopf分岔稳定分析
 4.3 三个Gopalsamy神经元系统的分岔
 4.3.1 模型的引入与依赖于时滞的全局稳定性
 4.3.2 线性稳定性与Hopf分岔的存在性分析
 4.3.3 Hopf分岔周期解的方向、周期和稳定性
 4.3.4 共振余维2分岔
 4.4 带单时滞且有自联接的三个神经元模型
 4.4.1 模型的引入、稳定性与Hopf分岔
 4.4.2 Hopf分岔方向与稳定性
 4.5 单时滞三个神经元模型的Hopf分岔的充分必要条件
 4.5.1 模型的引入与一些准备工作
 4.5.2 Hopf分岔的充分必要条件
 4.6 多时滞三个神经元模型的分岔
 4.6.1 引言
 4.6.2 Pitchfork分岔
 4.6.3 Pitchfork分岔和Hopf分岔相互作用
 4.7 一般的三个神经元时滞网络模型
 4.7.1 模型的引入、稳定性分析与Hopf分岔
 4.7.2 无自联接模型的稳定性分析
 4.7.3 无自联接三个神经元网络有大时滞情形的周期解的全局存在性
第5章 高阶时滞神经网络模型
 5.1 时滞递归神经网络的Hopf分岔分析
 5.1.1 问题的阐述
 5.1.2 Hopf分岔的存在性
 5.1.3 分岔周期解的稳定性分析
 5.1.4 数值例子
 5.2 带时滞相互作用的神经网络的振荡模式
 5.2.1 模型与时滞的临界值
 5.2.2 分岔的方向、模式和稳定性
 5.2.3 一些例子
 5.3 时滞对环形神经网络的动态行为与学习的影响
 5.3.1 收敛性的影响
 5.3.2 环形神经网络的振荡
 5.3.3 多层网络与同步
 5.3.4 时滞相互作用的学习
 5.4 有记忆的神经元网络的同步和稳定的锁相
 5.4.1 引言与模型的引入
 5.4.2 绝对同步与多稳定性
 5.4.3 去同步：稳定的锁相和不稳定波
第6章 在工程中的其他时滞动态模型
 6.1 基因调控网络模型
 6.1.1 布尔网络模型
 6.1.2 线性组合模型
 6.1.3 加权矩阵模型
 6.1.4 互信息关联模型
 6.1.5 贝叶斯网络模型
 6.1.6 微分方程模型
 6.2 几种基因调节网络的分岔分析
 6.2.1 一个常时滞基因调节网络的引入
 6.2.2 稳定性和Hopf分岔分析
 6.2.3 Hopf分岔的方向与稳定性
 6.2.4 几种其他基因调节网络模型
 6.3 网络拥塞控制模型
 6.3.1 带弃尾的TCP的局部稳定性与Hopf分岔
 6.3.2 某个对偶拥塞控制算法的局部分岔分析
 6.4 生物病毒模型
 6.4.1 模型的引入
 6.4.2 稳定性分析及仿真
 6.4.3 计算机模拟
 6.4.4 CD+4T细胞的HIV感染的时滞模型
 6.5 宏观经济动态模型
 6.5.1 模型的引入
 6.5.2 模型的动态行为分析
 6.6 情感动态模型
 6.6.1 模型的引入
 6.6.2 模型的稳定性与分岔分析
第7章 时滞混沌系统
 7.1 混沌研究的历史回顾
 7.2 混沌的定义与判定
 7.2.1 混沌的定义
 7.2.2 混沌研究的判据与准则
 7.3 带分段线性函数一阶时滞系统的混沌
 7.3.1 模型及局部稳定性域
 7.3.2 分岔和复杂的动态行为
 7.3.3 带分段线性函数的多涡卷时滞混沌系统
 7.4 带连续函数的一阶时滞系统的混沌
 7.4.1 带非单调激活函数的单个神经元时滞方程
 7.4.2 一个原型时滞动态系统的混沌行为
 7.5 惯性时滞神经网络的混沌现象
 7.5.1 带时滞的单个惯性神经元模型
 7.5.2 带时滞两个惯性神经元系统的混沌行为
 7.6 时滞经济动态模型的混沌行为
 7.7 带分布时滞Chen系统的混沌行为
参考文献</pre>

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在线试读部分章节

　　第4章三个神经元时滞系统的分岔
　　4.1三维神经元时滞系统的稳定性与分岔
　　4.1.1引言
　　最近人们对Hopfield人工神经网络的研究显示出巨大的兴趣，已证明Hopfield网络典型地拥有多个局部渐近平衡点？这些平衡点可以用于联想记忆，对始于吸引域内的非常数解收敛于平衡点相应于从“部分”信息恢复到静态解？
　　典型的带时滞Hopfield神经网络模型为，其中，和r，是常数;转换函数中每个均有双曲正切函数的性质;联接矩阵表示不同神经元之间的耦合强度;时刻第个神经元的状态为？
　　这些方程的一个简化形式是假设所有神经元相同，并且具有相同强度的耦合，经过正规化以后方程变为当，时，方程(42)总是拥有平衡解？
　　更一般地，方程(4-2)关于一个平衡解线性化满足如下系统，即(4-3)，是从神经元到神经元歹的联接强度和转换函数，在静态解的第歹个分量的斜率的乘积？
　　众所周知，方程(4-3)的零解是渐近稳定的，当下面特征方程的所有根A有负实部，即(4-4)
　　最近已证明可转换上面钾阶方程(A的幂次)为矩阵，的特征值作为系数的一阶方程组？考虑网络包含三个神经元的情形，同时因为受物理背景原因也不考虑自联接情形？因此，联接矩阵的所有对角元取零，并且方程(44)可展开成超越方程，即(4-5)其中，系数A和B可以从矩阵，的元素计算
　　方程(4-5)包含A，B和r，通过对这三个参数值的研究来确定线性方程零解的稳定性？然而，我们发现对于三个参数之一取固定值时更易于计算，即在两参数平面确定稳定性域更容易？在目前情形下，计算简捷和分析更为方便的方法是固定时滞值c，在系数A和B的平面内确定稳定性域(对于方程(4-5)的所有根有负实部的A和B的值的集合)，这将在4.1.2节讨论？考虑完整性，我们在4.1.3节给这些相同稳定性域在一个坐标为时滞，另一个坐标是系数A或B之一的平面上的投影？
　　超越方程，如方程(4-5)的稳定性问题是典型的代数复杂的？不像常微分方程组，它可以获取明显的准则，如Routh-Hurwitz准则，对于阶大于1，甚至一阶时滞微分方程稳定性的系数的充分必要条件没有明显的一般公式？最为一般的结果包含于文献，那里给出了研究的可选择解析和几何手段(然而并不考虑方程(4-5))？我们相信这里的方法是最为白然的，包括对整个参数范围(系数以及时滞)所有可能稳定性的变化？
　　4.1.2固定时滞的稳定性
　　在本节，我们固定时滞r，并确定参数A和B的值以便特征方程(4-5)的所有根有负实部？正如我们将看到的，在(A，B)乎面这些稳定性域根据r的值而变化？

第4章三个神经元时滞系统的分岔 
　　4.1三维神经元时滞系统的稳定性与分岔 
　　4.1.1引言 
　　最近人们对Hopfield人工神经网络的研究显示出巨大的兴趣，已证明Hopfield网络典型地拥有多个局部渐近平衡点？这些平衡点可以用于联想记忆，对始于吸引域内的非常数解收敛于平衡点相应于从“部分”信息恢复到静态解？ 
　　典型的带时滞Hopfield神经网络模型为，其中，和r，是常数;转换函数中每个均有双曲正切函数的性质;联接矩阵表示不同神经元之间的耦合强度;时刻第个神经元的状态为？ 
　　这些方程的一个简化形式是假设所有神经元相同，并且具有相同强度的耦合，经过正规化以后方程变为当，时，方程(42)总是拥有平衡解？ 
　　更一般地，方程(4-2)关于一个平衡解线性化满足如下系统，即(4-3)，是从神经元到神经元歹的联接强度和转换函数，在静态解的第歹个分量的斜率的乘积？ 
　　众所周知，方程(4-3)的零解是渐近稳定的，当下面特征方程的所有根A有负实部，即(4-4) 
　　最近已证明可转换上面钾阶方程(A的幂次)为矩阵，的特征值作为系数的一阶方程组？考虑网络包含三个神经元的情形，同时因为受物理背景原因也不考虑自联接情形？因此，联接矩阵的所有对角元取零，并且方程(44)可展开成超越方程，即(4-5)其中，系数A和B可以从矩阵，的元素计算 
　　方程(4-5)包含A，B和r，通过对这三个参数值的研究来确定线性方程零解的稳定性？然而，我们发现对于三个参数之一取固定值时更易于计算，即在两参数平面确定稳定性域更容易？在目前情形下，计算简捷和分析更为方便的方法是固定时滞值c，在系数A和B的平面内确定稳定性域(对于方程(4-5)的所有根有负实部的A和B的值的集合)，这将在4.1.2节讨论？考虑完整性，我们在4.1.3节给这些相同稳定性域在一个坐标为时滞，另一个坐标是系数A或B之一的平面上的投影？ 
　　超越方程，如方程(4-5)的稳定性问题是典型的代数复杂的？不像常微分方程组，它可以获取明显的准则，如Routh-Hurwitz准则，对于阶大于1，甚至一阶时滞微分方程稳定性的系数的充分必要条件没有明显的一般公式？最为一般的结果包含于文献，那里给出了研究的可选择解析和几何手段(然而并不考虑方程(4-5))？我们相信这里的方法是最为白然的，包括对整个参数范围(系数以及时滞)所有可能稳定性的变化？ 
　　4.1.2固定时滞的稳定性 
　　在本节，我们固定时滞r，并确定参数A和B的值以便特征方程(4-5)的所有根有负实部？正如我们将看到的，在(A，B)乎面这些稳定性域根据r的值而变化？ 
　　考虑c=0的极限情形，可以通过多项式方程求解得到？ 
　　引理4.1在方程(4-5)中，令c=0，那么所有根有负实部，当且仅当？ 
　　证明设c=0，那么方程(4-5)变为(4-6)其中，是一个根，当且仅当？ 
　　展开多项式(4-6)的立方项，我们可以获得等价形式.Routh-Hurwitz准则可直接应用此多项式？这个多项式有具有负实部的所有根，当且仅当下面三个不等式成立，即？第一个不等式明显满足，且后面两个不等式恰好同时成立，仅当条件和，会满足？ 
　　当是正数时，方程(4-3)是一个时滞型方程，方程(4-5)的根通过复平面的虚轴进入复A平面的右边(对于中立型方程不需要)？因此，对于方程(4-5)稳定性域的边界由参数A和B的值给m，使这个方程存在实根？零根或者一对纯虚根？ 
　　正如我们看到的，实根和零根的情形实际与r的值无关？ 
　　引理4.2对于任意r的正值，方程(4-5)右 
　　①一个零实根，当且仅当？ 
　　②B<3，如果。 
　　③B 证明利用文献[95]的定理1，在图4.1和图4.2中给予说明？在方程(4-5)中，设满足，因此①是明显的？设方程(4-5)为等式)，显然方程(4-5)的正根恰是函数和的图相交的A的正值？我们有，L是单调增和凸的，使得，因为和，方程的正根存在性的充分条件是？ 
　　假设，如果或者对于A的正值是单调的，因此并不存在方程(4-5)的一个正根？因为，不难看到在正实轴仅有一个极值，并且正实根仅出现在参数值使得和之间相切存在于A的正值处？对于出现这种情形的充分必要条件是方程和)关于A的正解存在？考虑这两个方程作为以两个未知变量A和B的线性方程组，在A的固定值我们反过来导出系统，即，那么，可以直接获得唯一解，可再写为？ 
　　在计算上，它是简单的，建立的最后方程定义到2的一个单调减的凹函数，取值从？在点A=-2和B=3，这个函数实际上切于直线B=l-A？ 
　　复根的情形在代数上更为复杂，首先识别在参数A和B平面内的值的集合，对任意固定的r值，方程(4-5)的所有根有负实部？ 
　　引理4.3考虑的固定正值，设，那么方程(4-5)的所有根有负实部，仅当，这里余弦函数的反函数在区间上取值，并且是在区间的(唯一)根？ 
　　证明当时，方程(4-5)变为，可以再写为(4-8)这是具有单时滞的一阶纯时滞方程的特征方程，稳定性域是已知的？这里我们必须用不同寻常的参数表示来确定这个域？由引理4.2，如果B=O，当A 显然，必须满足？用式(4-9)的第一个方程，我们可以写？因此，相应于反正弦函数的每个分支，我们有A的单调增函数，当，时，它为0;当A从下逼近-l时，它为 
　　从方程(4-8)计算特征值A实部的符号变化，我们有在纯虚根处计算时，它的右端变为，因为当这对纯虚根存在时，A是负值，可看到在参数平面的稳定性域是位于最右端这条曲线的右边，相应于反正弦函数在区间取值？ 
　　因此，在(A，B)平面内稳定性域一定包含由上面引理描述的A轴的一部分，我们现在建立方程(4-5)对纯虚根存在的参数值？在方程(45)中，将A—b代人，并分离结果方程的实部和虚部可获得(4-10)从这个方程，我们可以获得下面的结果？ 
　　定理4.1对于任意固定的r，方程(45)有一对纯虚根A-b的参数值A和B？ 
　　①如果不是方程的根，那么A和B可以由下面参数形式给出，即 
　　②如果满足方程，设是方程位于区间的解，那么A和B在直线上？记这条直线为，其方程为 
　　证明考虑方程(4-10)作为两个未知量A和B的线性方程组，即(4-13)，系数矩阵有行列式值，并且仅当时可逆？在这种情形下，我们可解方程(4-13)，即(4-14)三角恒等式允许简化导出方程(4-11)？当-面时，解方程面，方程组(4-13)足退化的，并且相应矩阵的秩为1？因此，它的解空间是一维的，并且对于固定的，由方程(4-12)的直线可以等价给出，即，方程(4-11)和方程(4-12)给出了稳定性域边界，余下的是确定方程(4-5)的虚根是怎样随参数A和B变化的？对于此，我们必须仔细研究由方程(4-11)确定的依赖于的每个函数？首先注意两个函数是偶函数，且不失一般性仅考虑的正值(方程(4-5)是实方程，以便复根以复共轭对出现)？ 
　　容易计算和，两个函数的导数为(4-17)那么，可以得到，我们计算二次导数为(4-18)和显然，使得A仅当时，在处增加，且对于所有r，处作为的函数而减少？ 
　　由方程(4-16)，我们计算函数A的极值作为超越方程的根，要发现函数B的极值，由方程(4-17)我们有(4-20)因此，上述方程两边平方，且再写为，以上方程可以看成关于cos(2cvc)的二次方程，它有一对实根，即，记上面方程右端为，那么的极值相应于与函数缸()之一的交点，且从方程(4-20)开始的值受限制？函教和的符号一定是相同的？ 
　　对于时滞r的任意固定正值，函数A和B的图描述了两个函数的极值，

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