矩阵方程约束解的迭代算法pdf/txt下载_在线阅读全文

内容简介

《矩阵方程约束解的迭代算法》共分为7章，内容包括：预备知识，分块带状线性代数方程组的PE解法，线性矩阵方程的分组迭代解法和参数迭代解法，线性矩阵方程约束解的MCG算法，非线性矩阵方程约束解的双迭代算法，以及MCG算法的应用等。
　　本书内容新颖，反映了线性矩阵方程唯一解的某些迭代算法、线性矩阵方程约束解的MCG算法和非线性矩阵方程约束解的双迭代算法研究的*进展，可作为高等院校理工科研究生和数学专业高年级本科生的教学用书，也可作为相关专业科研和技术人员的参考书。

目　　录

第1章预备知识 1.1 古典迭代方法 1.2 变分原理迭代方法 1.2.1 最速下降法 1.2.2 共轭梯度法 1.3 整体校正加速方法 1.3.1 线性代数方程组问题 1.3.2 线性矩阵方程问题 1.4 矩阵的广义逆 1.4.1 广义逆矩阵的概念 1.4.2 广义逆矩阵的等价定义 1.4.3 广义逆矩阵的应用 1.5 矩阵的直积运算与行拉直向量 1.5.1 直积的概念 1.5.2 线性矩阵方程的可解性 1.6 特殊矩阵及其集合记号参考文献第2章分块带状线-陛代数方程组的PE解法 2.1 块三对角方程组的PE解法 2.1.1 PE方法 2.1.2 PE方法和PEk方法的收敛性 2.1.3 二次PE方法和二次PEk方法的收敛性 2.1.4 数值算例 2.2 块五对角方程组的PE解法 2.2.1 PE方法 2.2.2 PE方法的收敛性 2.2.3 PEk方法的收敛性 2.2.4 二次PE方法和二次PEk方法的收敛性 2.2.5 数值算例 2.3 周期块三对角方程组的PE解法 2.3.1 PE万法 2.3.2 PE方法和PEk方法的收敛性 2.3.3 二次PE方法的收敛性 2.3.4 数值算例参考文献第3章线性矩阵方程的分组迭代解法 3.1 Lyapunov矩阵方程的分组迭代解法 3.1.1 Jacobi和JGS迭代格式 3.1.2 拟JGS迭代格式 3.1.3 块Jacobi和块JGS迭代格式 3.1.4 SOR、拟SOR和块SOR迭代格式 3.2 一般线性矩阵方程的分组迭代解法 3.2.1 Jacobi和JGS迭代格式 3.2.2 拟JGS迭代格式 3.2.3 块Jacobi和块JGS迭代格式 3.2.4 SOR、拟SOR和块SOR迭代格式参考文献第4章线性矩阵方程的参数迭代解法 4.1 矩阵方程Ax+XAH=F的参数迭代解法 4.2 矩阵方程Ax+XB=F的参数迭代解法 4.3 矩阵方程AXBT+BXAT=F的参数迭代解法 4.4 矩阵方程AXB+CXD=F的参数迭代解法 4.5 矩阵方程ATX+XA+BTXB=C的参数迭代解法参考文献第5章线性矩阵方程约束解的MCG算法 5.1 求解线性代数方程组的McG算法 5.2 简单线性矩阵方程约束解的MCG算法 5.2.1 迭代方法 5.2.2 求一般解的算法收敛性分析 5.3 一般线性矩阵方程约束解的MCG算法 5.3.1 迭代方法 5.3.2 求对称解的算法收敛性分析 5.4 线性矩阵方程约束Ls解的McG算法 5.4.1 约束正规矩阵方程与迭代方法 5.4.2 求中心对称Ls解的算法收敛性分析 5.5 线性矩阵方程组约束解的McG算法 5.5.1 迭代方法 5.5.2 求自反解的算法收敛性分析 5.6 多变量线性矩阵方程组约束解的MCG算法 5.6.1 迭代方法 5.6.2 求一般解的算法收敛性分析 5.7 线性矩阵方程异类约束解的MCG算法 5.7.1 求一般异类约束解的迭代方法与收敛性结论 5.7.2 求分组异类约束解的迭代方法与收敛性结论 5.8 线性矩阵方程异类约束Ls解的MCG算法 5.8.1 求约束1—3Ls解的迭代方法与收敛性结论 5.8.2 求约束1—3—7Ls解的迭代方法与收敛性结论参考文献第6章非线性矩阵方程约束解的双迭代算法 6.1 高次多项式矩阵方程约束解的双迭代算法 6.1.1 双迭代算法介绍 6.1.2 求双变量矩阵方程的对称解 6.1.3 求双变量矩阵方程的约束1—9解 6.1.4 求双变量矩阵方程组的对称解 6.2 含逆幂的矩阵方程约束解的双迭代算法 6.2.1 求单变量矩阵方程的对称解 6.2.2 求双变量矩阵方程组的约束1—9解 6.2.3 求特殊结构的单变量矩阵方程的对称解 6.3 含特殊逆幂的矩阵方程约束解的双迭代算法 6.3.1 求含高次逆幂的单变量矩阵方程的对称解I 6.3.2 求含分数逆幂的单变量矩阵方程的约束解 6.3.3 求含高次逆幂的双变量矩阵方程组的对称自反解参考文献第7章 MCG算法的应用 7.1 逆矩阵的迭代算法 7.1.1 古典迭代方法 7.1.2 Newton迭代方法 7.1.3 MCG算法 7.2 Moore—Penrose逆的直接迭代算法 7.3 Moore—Penrose逆的MCG算法 7.3.1 转化为求单变量线性矩阵方程的一般解 7.3.2 转化为求单变量线性矩阵方程组的一般解 7.3.3 转化为求双变量线性矩阵方程组的一般解 7.3.4 数值算例 7.4 Drazin逆的MCG算法 7.4.1 转化为求单变量线性矩阵方程的一般解 7.4.2 转化为求单变量线性矩阵方程组的一般解 7.4.3 数值算例 7.5 矩阵方程子空间约束解的MCG算法 7.5.1 求方程AXB=D的子空间约束解 7.5.2 求方程组Ax=b的子空间约束解 7.5.3 求方程组Ax+y=b的子空间约束解 7.5.4 求方程A1X1B1+A2X2B2=D的子空间约束解参考文献

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<pre>第1章 预备知识
 1.1 古典迭代方法
 1.2 变分原理迭代方法
 1.2.1 最速下降法
 1.2.2 共轭梯度法
 1.3 整体校正加速方法
 1.3.1 线性代数方程组问题
 1.3.2 线性矩阵方程问题
 1.4 矩阵的广义逆
 1.4.1 广义逆矩阵的概念
 1.4.2 广义逆矩阵的等价定义
 1.4.3 广义逆矩阵的应用
 1.5 矩阵的直积运算与行拉直向量
 1.5.1 直积的概念
 1.5.2 线性矩阵方程的可解性
 1.6 特殊矩阵及其集合记号
 参考文献
第2章 分块带状线-陛代数方程组的PE解法
 2.1 块三对角方程组的PE解法
 2.1.1 PE方法
 2.1.2 PE方法和PEk方法的收敛性
 2.1.3 二次PE方法和二次PEk方法的收敛性
 2.1.4 数值算例
 2.2 块五对角方程组的PE解法
 2.2.1 PE方法
 2.2.2 PE方法的收敛性
 2.2.3 PEk方法的收敛性
 2.2.4 二次PE方法和二次PEk方法的收敛性
 2.2.5 数值算例
 2.3 周期块三对角方程组的PE解法
 2.3.1 PE万法
 2.3.2 PE方法和PEk方法的收敛性
 2.3.3 二次PE方法的收敛性
 2.3.4 数值算例
 参考文献
第3章 线性矩阵方程的分组迭代解法
 3.1 Lyapunov矩阵方程的分组迭代解法
 3.1.1 Jacobi和JGS迭代格式
 3.1.2 拟JGS迭代格式
 3.1.3 块Jacobi和块JGS迭代格式
 3.1.4 SOR、拟SOR和块SOR迭代格式
 3.2 一般线性矩阵方程的分组迭代解法
 3.2.1 Jacobi和JGS迭代格式
 3.2.2 拟JGS迭代格式
 3.2.3 块Jacobi和块JGS迭代格式
 3.2.4 SOR、拟SOR和块SOR迭代格式
 参考文献
第4章 线性矩阵方程的参数迭代解法
 4.1 矩阵方程Ax+XAH=F的参数迭代解法
 4.2 矩阵方程Ax+XB=F的参数迭代解法
 4.3 矩阵方程AXBT+BXAT=F的参数迭代解法
 4.4 矩阵方程AXB+CXD=F的参数迭代解法
 4.5 矩阵方程ATX+XA+BTXB=C的参数迭代解法
 参考文献
第5章 线性矩阵方程约束解的MCG算法
 5.1 求解线性代数方程组的McG算法
 5.2 简单线性矩阵方程约束解的MCG算法
 5.2.1 迭代方法
 5.2.2 求一般解的算法收敛性分析
 5.3 一般线性矩阵方程约束解的MCG算法
 5.3.1 迭代方法
 5.3.2 求对称解的算法收敛性分析
 5.4 线性矩阵方程约束Ls解的McG算法
 5.4.1 约束正规矩阵方程与迭代方法
 5.4.2 求中心对称Ls解的算法收敛性分析
 5.5 线性矩阵方程组约束解的McG算法
 5.5.1 迭代方法
 5.5.2 求自反解的算法收敛性分析
 5.6 多变量线性矩阵方程组约束解的MCG算法
 5.6.1 迭代方法
 5.6.2 求一般解的算法收敛性分析
 5.7 线性矩阵方程异类约束解的MCG算法
 5.7.1 求一般异类约束解的迭代方法与收敛性结论
 5.7.2 求分组异类约束解的迭代方法与收敛性结论
 5.8 线性矩阵方程异类约束Ls解的MCG算法
 5.8.1 求约束1—3Ls解的迭代方法与收敛性结论
 5.8.2 求约束1—3—7Ls解的迭代方法与收敛性结论
 参考文献
第6章 非线性矩阵方程约束解的双迭代算法
 6.1 高次多项式矩阵方程约束解的双迭代算法
 6.1.1 双迭代算法介绍
 6.1.2 求双变量矩阵方程的对称解
 6.1.3 求双变量矩阵方程的约束1—9解
 6.1.4 求双变量矩阵方程组的对称解
 6.2 含逆幂的矩阵方程约束解的双迭代算法
 6.2.1 求单变量矩阵方程的对称解
 6.2.2 求双变量矩阵方程组的约束1—9解
 6.2.3 求特殊结构的单变量矩阵方程的对称解
 6.3 含特殊逆幂的矩阵方程约束解的双迭代算法
 6.3.1 求含高次逆幂的单变量矩阵方程的对称解I
 6.3.2 求含分数逆幂的单变量矩阵方程的约束解
 6.3.3 求含高次逆幂的双变量矩阵方程组的对称自反解
 参考文献
第7章 MCG算法的应用
 7.1 逆矩阵的迭代算法
 7.1.1 古典迭代方法
 7.1.2 Newton迭代方法
 7.1.3 MCG算法
 7.2 Moore—Penrose逆的直接迭代算法
 7.3 Moore—Penrose逆的MCG算法
 7.3.1 转化为求单变量线性矩阵方程的一般解
 7.3.2 转化为求单变量线性矩阵方程组的一般解
 7.3.3 转化为求双变量线性矩阵方程组的一般解
 7.3.4 数值算例
 7.4 Drazin逆的MCG算法
 7.4.1 转化为求单变量线性矩阵方程的一般解
 7.4.2 转化为求单变量线性矩阵方程组的一般解
 7.4.3 数值算例
 7.5 矩阵方程子空间约束解的MCG算法
 7.5.1 求方程AXB=D的子空间约束解
 7.5.2 求方程组Ax=b的子空间约束解
 7.5.3 求方程组Ax+y=b的子空间约束解
 7.5.4 求方程A1X1B1+A2X2B2=D的子空间约束解
 参考文献</pre>
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前　　言

　　前言
　　理论上，可将线性矩阵方程或线性矩阵方程组（LMEs）转化为线性代数方程组进行求解计算．但是，当未知矩阵的阶数较高时，这种转化方式产生的线性代数方程组的阶数按照平方量级增长（如果未知矩阵是方阵的话），求解的计算量也就加大．因此，直接建立LMEs的求解算法是有意义的．
　　对于线性矩阵方程的唯一解问题，可以采用按行拉直的方法转化为线性代数方程组，建立古典迭代算法，并利用这种转化得到的线性代数方程组的系数矩阵具有特殊的分块结构，将古典迭代算法转化为分组迭代算法．这样，每一组迭代计算涉及的矩阵阶数与原线性矩阵方程中对应的矩阵阶数相同．当然，也可以针对某些特殊的线性矩阵方程，直接建立简单而有效的迭代算法．
　　约束矩阵方程问题就是在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解．不同的矩阵方程或不同的约束条件都将导致不同的约束矩阵方程问题．对于多矩阵变量的矩阵方程，当解矩阵属于同一约束矩阵集合时，称之为同类约束解；当解矩阵属于不同的约束矩阵集合时，称之为异类约束解．约束解的类型有一般解、对称解、反对称解、中心对称解、中心反对称解、自反解、反自反解、双对称解、对称次反对称解、对称自反解、对称反自反解、同类约束解和异类约束解，以及其它的子空间约束解．

前言 
　　理论上，可将线性矩阵方程或线性矩阵方程组（LMEs）转化为线性代数方程组进行求解计算．但是，当未知矩阵的阶数较高时，这种转化方式产生的线性代数方程组的阶数按照平方量级增长（如果未知矩阵是方阵的话），求解的计算量也就加大．因此，直接建立LMEs的求解算法是有意义的． 
　　对于线性矩阵方程的唯一解问题，可以采用按行拉直的方法转化为线性代数方程组，建立古典迭代算法，并利用这种转化得到的线性代数方程组的系数矩阵具有特殊的分块结构，将古典迭代算法转化为分组迭代算法．这样，每一组迭代计算涉及的矩阵阶数与原线性矩阵方程中对应的矩阵阶数相同．当然，也可以针对某些特殊的线性矩阵方程，直接建立简单而有效的迭代算法． 
　　约束矩阵方程问题就是在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解．不同的矩阵方程或不同的约束条件都将导致不同的约束矩阵方程问题．对于多矩阵变量的矩阵方程，当解矩阵属于同一约束矩阵集合时，称之为同类约束解；当解矩阵属于不同的约束矩阵集合时，称之为异类约束解．约束解的类型有一般解、对称解、反对称解、中心对称解、中心反对称解、自反解、反自反解、双对称解、对称次反对称解、对称自反解、对称反自反解、同类约束解和异类约束解，以及其它的子空间约束解． 
　　基于求解线性代数方程组的共轭梯度法的思想方法，通过对下降方向和极小点的修正处理，可以建立求LMEs的某类约束解的新型迭代算法，称之为修正共轭梯度法（MCG算法）．MCG算法能够自动判断LMEs是否有某类约束解，不要求涉及的线性代数方程组（指LMEs的向量形式）的系数矩阵对称正定、可逆或者列满秩，但仍然具备有限步收敛性，理论上总是可行的．当LMEs没有某类约束解时，可以将求它的约束最小二乘解问题转化为求它的约束正规矩阵方程的约束解问题，针对后者建立求其约束解的MCG算法，就是求LMEs的约束最小二乘解的MCG算法． 
　　采用MCG算法求由牛顿算法每一步迭代计算导出的关于校正矩阵的LMEs的约束解或者约束最小二乘解，可以建立求非线性矩阵方程的约束解的双迭代算法．通常的牛顿算法要求这些LMEs有唯一的某类约束解，这就需要对非线性矩阵方程的系数矩阵做一些附加限定．双迭代算法不要求这些LMEs有某类约束解，也就不需要对非线性矩阵方程的系数矩阵做任何附加限定，原因是MCG算法总是可行的．对于牛顿算法中的某一步，当导出的关于校正矩阵的LMEs没有某类约束解时，可用它的这类约束最小二乘解来代替．当然，求LMEs的约束最小二乘解比求LMEs的约束解的计算量要大，因为约束正规矩阵方程比原来的LMEs复杂得多． 
　　本书分为七章，第1章简要介绍求解线性代数方程组的古典迭代方法、变分原理迭代方法和整体校正加速方法，矩阵的广义逆及其等价定义和应用，矩阵的直积运算与行拉直向量，以及后续章节讨论涉及的特殊矩阵．第2章介绍求块三对角、块五对角和周期块三对角线性代数方程组唯一解的PE方法，并讨论PE方法的收敛性问题．第3章介绍求一类Lyapunov矩阵方程和一般线性矩阵方程唯一解的分组迭代方法，并讨论分组迭代方法的收敛性问题．第4章介绍求几类特殊Lyapunov矩阵方程唯一解的参数迭代方法，并讨论参数迭代方法的收敛性和最优参数选取问题．第5章介绍当LMEs有约束解，但约束解不一定唯一时，求其一组约束解的MCG算法；当LMEs没有约束解时，求其一组约束最小二乘解的MCG算法．第6章介绍MCG算法在求非线性矩阵方程约束解方面的应用，也就是求非线性矩阵方程约束解的双迭代算法．第7章介绍MCG算法在计算广义逆矩阵和求解子空间约束矩阵方程（包括子空间约束线性代数方程组）方面的应用． 
　　本书的部分内容取自作者编著的教材《数值代数》修订本（科学出版社2010年出版），大部分资料来源于作者与指导的研究生近期发表的研究论文．作者无意探究某些算法的历史根源，因为这是一项极其复杂的工作，只是通过一些个例来描述算法的构造原理或者应用场合．求解矩阵方程的迭代算法多种多样，书中只是介绍作者比较熟悉的部分迭代算法，不大熟悉的内容不敢贸然下笔．如果将线性代数方程组看作线性矩阵方程的特例，再将一般解问题看作约束解问题的特例，本书的内容当属矩阵方程约束解的迭代算法，牵强以此定为书名． 
　　本书内容新颖，反映了线性矩阵方程唯一解某些迭代算法、线性矩阵方程约束解修正共轭梯度法和非线性矩阵方程约束解双迭代算法的最新进展；个例代表性强，覆盖面宽，表明了迭代算法的构造原理；结构紧凑，叙述简明，突出了矩阵分析方法．阅读本书只需具备线性代数和计算方法的基本知识． 
　　本书在撰写过程中，得到了西北工业大学理学院、教务处和研究生院等部门的大力支持．多届研究生，如李书连、刘晓敏、朱寿升、牛婷婷、宋卫红、宁倩芝等在数值计算与资料整理方面作了大量工作．特别是西北工业大学邓子辰教授和长安大学封建湖教授审阅了书稿，并提出了有益的修改建议，作者在此表示衷心的感谢． 
　　作者由衷地感谢西北工业大学专著出版基金资助本书的出版． 
　　由于作者水平有限，书中疏漏及不妥之处在所难免，敬请同行和读者批评指正．

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