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内容简介

线性代数按照“讲清道理，再讲推理”的模式编写，系统、连贯地介绍了行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的相似二次型、向量空间与线性变换等内容。考虑到不同学时不同层次的教学需要，书中第7章为选学内容，不会影响教材的系统性。在例题、习题选取方面，线性代数遵循少而精、难易适度的原则，每章均配有典型例题和习题，书后附有参考答案与提示，并精心设计了“问题与探究”栏目。
线性代数注重化解抽象理论的难度，易教易学，可读性强，适合一般本科院校理工类、经管类专业使用。

作者简介

李桂贞、陈益智、张君敏、李思彦、王海青、刘卉

目　　录

前言
第1章行列式
1.1 行列式的定义
1.2 行列式的性质
1.3 行列式的展开
1.4 拉普拉斯定理
1.5 克拉默法则
习题1
问题与探究
第2章矩阵
2.1 矩阵及其运算
2.2 可逆矩阵
2.3 矩阵的初等变换
2.4 矩阵的秩

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在线试读部分章节

1.1 　行列式的定义
一、排列与逆序
定义1.1.1 　由自然数1 ，2 ，3 ，… ，n 组成的有序数组j1 j2 … jn 称为一个n 阶排
列．例如，3214 是一个四阶排列，645213 是一个六阶排列．由1 ，2 ，3 ，4 可组成4 ！＝
24 个不同的四阶排列．1 ，2 ，3 ，… ，n 可组成n ！个不同的n 阶排列．按数字的自然顺
序由小到大的n 阶排列123 … n 称为标准排列．
定义1.1.2 　在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，称这两个
数构成一个逆序．一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为τ（ j1 j2 … jn ）．
逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数的排列称为偶排列．
例1.1.1 　求排列362514 与n（ n - 1） … 321 的逆序数．
解　排列362514 中，3 在1 和2 前面，6 在1 ，2 ，4 和5 前面，2 在1 前面，5 在1
和4 前面，共有9 个逆序，即τ（362514）＝ 2 + 4 + 1 + 2 + 0 + 0 ＝ 9 ，为奇排列；
τ（ n（ n - 1） … 321）＝（ n - 1） + （ n - 2） + … + 2 + 1 + 0 ＝ n（ n - 1）
2 ，当n 等于4 k 和
4 k + 1 时为偶排列，当n 等于4 k + 2 和4 k + 3 时为奇排列．
把一个排列中的两个数的位置互换，其余的数不动，就得到一个新的排列，这样
的变换称为排列的一个对换．
例如，将362514 中的6 和1 对换，得到新的排列312564 ，它的逆序数τ（312564）＝
4 ，为偶排列．可见，经过一次对换后，排列的奇偶性发生了改变．

1.1 　行列式的定义
 一、排列与逆序
 定义1.1.1 　由自然数1 ，2 ，3 ，… ，n 组成的有序数组j1 j2 … jn 称为一个n 阶排
 列．例如，3214 是一个四阶排列，645213 是一个六阶排列．由1 ，2 ，3 ，4 可组成4 ！ ＝
 24 个不同的四阶排列．1 ，2 ，3 ，… ，n 可组成n ！ 个不同的n 阶排列．按数字的自然顺
 序由小到大的n 阶排列123 … n 称为标准排列．
 定义1.1.2 　在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，称这两个
 数构成一个逆序．一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数，记为τ（ j1 j2 … jn ） ．
 逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数的排列称为偶排列．
 例1.1.1 　求排列362514 与n（ n - 1） … 321 的逆序数．
 解　排列362514 中，3 在1 和2 前面，6 在1 ，2 ，4 和5 前面，2 在1 前面，5 在1
 和4 前面，共有9 个逆序，即τ（362514） ＝ 2 + 4 + 1 + 2 + 0 + 0 ＝ 9 ，为奇排列；
 τ（ n（ n - 1） … 321） ＝ （ n - 1） + （ n - 2） + … + 2 + 1 + 0 ＝ n（ n - 1）
 2 ，当n 等于4 k 和
 4 k + 1 时为偶排列，当n 等于4 k + 2 和4 k + 3 时为奇排列．
 把一个排列中的两个数的位置互换，其余的数不动，就得到一个新的排列，这样
 的变换称为排列的一个对换．
 例如，将362514 中的6 和1 对换，得到新的排列312564 ，它的逆序数τ（312564） ＝
 4 ，为偶排列．可见，经过一次对换后，排列的奇偶性发生了改变．
 定理1.1.1 　每一个对换都改变排列的奇偶性．
 证　分两种情况讨论．
 （1） 相邻两个数对换的情况．
 设排列为
 Ai j B ， （1.1）
 经过i 与j 的对换变为排列
 A j iB ， （1.2）
 其中A ，B 表示除i ，j 两个数外的其余数．比较排列（1.1）与排列（1.2）中的逆序，A ，
 B 中数的次序没有改变，i ，j 与A ，B 中数的次序也没有改变，仅仅改变了i 与j 的次
 序，因此排列（1.2）仅比排列（1.1）增加了一个逆序（当i ＜ j 时） ，或减少了一个逆序
 （当i ＞ j 时） ，所以它们的奇偶性相反．
 （2） 一般对换的情况．
 设排列为
 Aik1 k2 … ks j B ， （1.3）
 经过i 与j 的对换变为排列
 A j k1 k2 … ks iB ， （1.4）
 将排列（1.3）中数i 依次与k1 ，k2 ，… ，ks ，j 作s + 1 次相邻对换，变为
 Ak1 k2 … ks j iB ， （1.5）
 再将排列（1.5）中的j 依次与ks ，ks - 1 ，… ，k1 作s 次相邻对换，得到排列（1.4） ，即排
 列（1.4）可由排列（1.3）经过2 s + 1 次相邻对换得到．由情况（1）可知，它改变了奇数
 次奇偶性，所以排列（1.4）与排列（1.3）的奇偶性相反．□
 推论1.1.1 　奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的
 对换次数为偶数．
 证明留给读者．
 二、二阶与三阶行列式
 设二元线性方程组为
 a11 x1 + a12 x2 ＝ b1 ，
 a21 x1 + a22 x2 ＝ b2 ．
 （1.6）
 用消元法解此方程组，得
 （ a11 a22 - a12 a21 ） x1 ＝ b1 a22 - a12 b2 ，　（ a11 a22 - a1 2 a21 ） x2 ＝ a11 b2 - b1 a21 ．
 当a11 a22 - a12 a21 ≠ 0 时，方程组（1.6）有唯一解
 x1 ＝ b1 a22 - a12 b2
 a11 a22 - a12 a21
 ，
 x2 ＝ a11 b2 - b1 a21
 a11 a22 - a12 a21
 ．
 （1.7）
 为了便于记忆，引入记号
 D ＝
 a11 a12
 a21 a22
 ，　并规定
 a11 a12
 a21 a22
 ＝ a11 a22 - a12 a21 ． （1.8）
 称D 为二阶行列式．D 中横写的称为行，竖写的称为列．数ai j （ i ＝ 1 ，2 ；j ＝ 1 ，2）称为
 行列式D 的元素．元素ai j 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个
 下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列．
 　图1.1
 上述行列式的定义，可用对角线法则（图1.1）来记忆．把行列式中从
 左上角到右下角的实连线称为主对角线，从右上角到左下角的虚连线称
 为次对角线．由式（1.8）可知，二阶行列式的值是主对角线上两元素之积
 减去次对角线上两元素之积所得的差．按照这个规则，又有
 D1 ＝
 b1 a12
 b2 a22
 ＝ b1 a22 - a12 b2 ，　D2 ＝
 a11 b1
 a21 b2
 ＝ a11 b2 - b1 a21 ．
 于是，当D ≠ 0 时，二元线性方程组（1.6）的解可写成
 x1 ＝ D1
 D ＝
 b1 a12
 b2 a22
 a11 a12
 a21 a22
 ，　x2 ＝ D2
 D ＝
 a11 b1
 a21 b2
 a11 a12
 a21 a22
 ．
 　　同理，考虑三元线性方程组
 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ＝ b1 ，
 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ＝ b2 ，
 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 ＝ b3 ．
 （1.9）
 用消元法先后消去x2 ，x3 得到
 x1 ＝ b1 a22 a33 + a1 2 a23 b3 + a13 b2 a32 - a13 a22 b3 - a12 b2 a33 - b1 a23 a32
 a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a23 a3 2 - a12 a21 a33 - a13 a2 2 a31
 ．
 记
 D ＝
 a11 a12 a13
 a21 a22 a23
 a31 a32 a33
 ，
 并规定
 a11 a12 a1 3
 a21 a22 a2 3
 a31 a32 a3 3
 ＝ a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a1 3 a21 a32
 - a11 a23 a32 - a12 a21 a3 3 - a13 a22 a31 ． （1.10）
 　　由于D 中共有三行三列，称它为三阶行列式．如果D ≠ 0 ，容易解出方程组（1.9）
 的唯一解为
 x1 ＝ D1
 D ，　x2 ＝ D2
 D ，　x3 ＝ D3
 D ，
 其中Dj （ j ＝ 1 ，2 ，3）分别是将D 中的第j 列的元素换成方程组（1.9）右端的常数项
 b1 ，b2 ，b3 得到的．
 图1.2 　
 上述定义表明三阶行列式含6 项，每项均为不同行
 不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图
 1.2 所示的对角线法则：图中有三条实线看成是平行于
 主对角线的连线，三条虚线看成是平行于次对角线的连
 线，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素
 的乘积冠负号．
 例1.1.2 　计算三阶行列式
 D ＝
 1 2 3
 4 0 5
 - 1 0 6
 ．
 　　解　按对角线法则，有
 D ＝ 1 × 0 × 6 + 2 × 5 × （ - 1） + 3 × 4 × 0
 - 1 × 5 × 0 - 2 × 4 × 6 - 3 × 0 × （ - 1）
 ＝ - 10 - 48 ＝ - 58 ．
 　　例1.1.3 　求解方程
 1 1 1
 2 3 x
 4 9 x2
 ＝ 0 ．
 　　解　
 1 1 1
 2 3 x
 4 9 x2
 ＝ 3 x2 + 4 x + 18 - 9 x - 2 x2 - 12 ＝ x2 - 5 x + 6 ．
 由x2 - 5 x + 6 ＝ 0 解得x ＝ 2 或x ＝ 3 ．
 注　对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
 为研究更高阶行列式，下面引出n 阶行列式的概念．
 三、n 阶行列式的定义
 为了给出n 阶行列式的定义，首先研究三阶行列式的结构．见式（1.10） ，三阶行
 列式定义为
 D ＝
 a11 a12 a13
 a21 a22 a23
 a31 a32 a33
 ＝ a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a3 2
 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 ．
 　　（1） 式（1.10）右边任一项除正负号外可以写成a1 j1 a2 j2 a3 j3 ，三个元素位于不同行
 不同列．这里第一个下标（行标）排成标准排列123 ，第二个下标（列标）排成j1 j2 j3 ，它
 是1 ，2 ，3 三个数的某个排列．这样的排列共有3 ！ ＝ 6 种，对应式（1.10）右端共含
 6 项．
 （2） 各项的正负号与列标的排列对照：
 带正号的三项列标排列是：123 ，231 ，312 ；
 带负号的三项列标排列是：132 ，213 ，321 ．
 易知前三个排列都是偶排列，后三个排列都是奇排列．因此各项所带正负号可以
 表示为（ - 1）τ（ j1 j2 j3 ） ．
 于是，三阶行列式可以写成
 D ＝
 a11 a12 a13
 a21 a22 a23
 a31 a32 a33
 ＝ Σ j1 j2 j3
 （ - 1）τ（ j1 j2 j3 ） a1 j1 a2 j2 a3 j3 ．
 　　推而广之，可以定义n 阶行列式：
 定义1.1.3 　用n2 个元素ai j （ i ，j ＝ 1 ，2 ，… ，n）排成n 行n 列，称
 a1 1 a12 … a1 n
 a2 1 a22 … a2 n
 ? ? ?
 an1 an2 … ann
 为n 阶行列式，它等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积
 a1 j1 a2 j2 … anj n
 的代数和，其中j1 j2 … jn 是数字1 ，2 ，… ，n 的某个排列，共有n ！ 项，每项前面带有符
 号（ - 1）τ（ j1 j2 … j n） ，即
 D ＝
 a11 a12 … a1 n
 a21 a22 … a2 n
 ? ? ?
 an1 an2 … ann
 ＝ Σ j1 j2 … j n
 （ - 1）τ（ j1 j2 … j n） a1 j1 a2 j2 … anj n ， （1.11）
 其中Σ j1 j2 … j n
 表示对1 ，2 ，… ，n 这n 个数组成的所有排列j1 j2 … jn 求和．
 n 阶行列式也可简记为D ＝ ｜ ai j ｜ ．当n ＝ 1 时，即为一阶行列式，并规定｜ a｜ ＝ a ．
 例1.1.4 　计算n 阶行列式
 a11 a12 … a1 n
 0 a22 … a2 n
 ? ? ?
 0 0 … ann
 ．
 　　解　由n 阶行列式的定义知，展开式的一般项为a1 j1 a2 j2 … anj n ，n 个元素必须取
 自不同的行不同的列．要计算该行列式的值，只需把其中的非零项求出来即可．
 第n 行除了ann 外，其余元素都是零，所以jn ＝ n ；在第n - 1 行中，除了an - 1 ，n - 1 ，
 an - 1 ，n外，其余元素都是零，而an - 1 ，n ，ann 在同一列，所以只能取jn - 1 ＝ n - 1 ；如此下
 去，在第一行只能取j1 ＝ 1.因此该行列式展开式中不为零的项只有一项
 a11 a22 … ann ，
 而该项的列标的排列是标准排列，其逆序数为零，所以取正号，故
 a11 a12 … a1 n
 0 a22 … a2 n
 ? ? ?
 0 0 … ann
 ＝ a11 a22 … ann ，
 称上面形式的行列式为上三角形行列式．
 用同样的方法可得下三角形行列式
 a11 0 … 0
 a21 a22 … 0
 ? ? ?
 an1 an2 … ann
 ＝ a11 a22 … ann ．
 　　特别地，对于对角形行列式，有
 a11 0 … 0
 0 a22 … 0
 ? ? ?
 0 0 … ann
 ＝ a11 a22 … ann ．
 　　类似地，可以证明
 a11 … a1 ，n- 1 a1 n
 a21 … a2 ，n- 1 0
 ? … ?
 an1 0 … 0
 ＝
 0 … 0 a1 n
 0 … a2 ，n- 1 a2 n
 ? ? ?
 an1 … an ，n- 1 ann
 ＝
 0 … 0 a1 n
 0 … a2 ，n- 1 0
 ? ? ?
 an1 … 0 0
 ＝ （ - 1）n（ n- 1）
 2 a1 n a2 n- 1 … an1 ．
 　　能否在定义1.1.3 中n 个元素的相乘项里把元素的列标按标准排列，而由行标
 排列的逆序数决定各项前正负号呢？ 下面的定理正面回答了这一问题．
 定理1.1.2 　n 阶行列式也可定义为
 D ＝
 a1 1 a12 … a1 n
 a2 1 a22 … a2 n
 ? ? ?
 an1 an2 … ann
 ＝ Σ i1 i2 … in
 （ - 1）τ（ i1 i2 … in） ai1 1 ai2 2 … ainn ， （1.12）
 式中Σ i1 i2 … in
 表示对1 ，2 ，… ，n 这n 个数组成的所有排列i1 i2 … in 求和．
 证　对于式（1.11）右端的任意一项
 （ - 1）τ（ j1 j2 … j n） a1 j1 a2 j2 … anj n ，
 当列标组成的排列j1 j2 … jn 经过s 次对换变成标准排列1 2 … n 时，相应的行标组成
 的排列1 2 … n 经过s 次对换变成排列i1 i2 … in ，由乘法的可交换性得
 a1 j1 a2 j2 … anj n ＝ ai1 1 ai2 2 … ainn ．

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