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内容简介

《高等数学学习辅导》是高等数学配套的学习辅导教材，内容包括极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数微分学、二重积分、微分方程与差分方程、无穷级数共9章内容。每一章都包括基本要求、重点与难点、内容提要、典型例题分析、同步练习题、自我测试题等6部分．《高等数学学习辅导》最后还选编了5套综合测试题，供读者学习巩固之用．所有的同步练习题、测试题和综合测试题都附有较为详细的解答和提示方便读者学习使用。
《高等数学学习辅导》除了可以作为高等数学学习的辅导书外，也可以作为全国研究生入学考试的参考书。

作者简介

张庆国、刘爱国、汪宏喜、徐丽、王凯、武东、曹宗宏、张成堂、陈德玲、于淑妹

目　　录

前言
第1章极限与连续
1.1 基本要求
1.2 重点与难点
1.3 内容提要
1.4 典型方法与例题分析
1.5 同步练习题
1.6 自我测试题
第2章导数与微分
2.1 基本要求
2.2 重点与难点
2.3 内容提要
2.4 典型方法与例题分析
2.5 同步练习题

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在线试读部分章节

1.1基本要求
(1)理解函数的概念;了解反函数、复合函数和分段函数的概念;掌握复合函数的分解.

(2)熟悉基本初等函数及其性质与图形;熟悉函数的表示法及函数的几种几何特性;会建立一般有实际问题背景的函数关系式.

(3)理解数列及函数极限的概念;了解极限的精确定义,熟练掌握极限四则运算法则.

(4)了解极限存在准则;会用两个重要极限求有关极限.

(5)理解无穷小、无穷大的概念;掌握无穷小的性质和无穷小的比较方法;会用等价无穷小求极限.

(6)理解函数连续的概念,会判断函数间断点的类型;掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数性质.

1.2重点与难点

(1)本章的重点：函数的概念;复合函数、分段函数、初等函数;无穷小;求函数极限;判断间断点的类型;函数的连续性和闭区间上连续函数性质.

(2)本章的难点：数列极限定义的N?ε语言、函数极限δ?ε语言;无穷小比较;判断间断点的类型;闭区间上连续函数性质．

1.1基本要求
 (1)理解函数的概念;了解反函数、复合函数和分段函数的概念;掌握复合函数的分解.
 
 (2)熟悉基本初等函数及其性质与图形;熟悉函数的表示法及函数的几种几何特性;会建立一般有实际问题背景的函数关系式.
 
 (3)理解数列及函数极限的概念;了解极限的精确定义,熟练掌握极限四则运算法则.
 
 (4)了解极限存在准则;会用两个重要极限求有关极限.
 
 (5)理解无穷小、无穷大的概念;掌握无穷小的性质和无穷小的比较方法;会用等价无穷小求极限.
 
 (6)理解函数连续的概念,会判断函数间断点的类型;掌握初等函数的连续性和闭区间上连续函数性质.
 
 1.2重点与难点
 
 (1)本章的重点：函数的概念;复合函数、分段函数、初等函数;无穷小;求函数极限;判断间断点的类型;函数的连续性和闭区间上连续函数性质.
 
 (2)本章的难点：数列极限定义的N?ε语言、函数极限δ?ε语言;无穷小比较;判断间断点的类型;闭区间上连续函数性质．
 
 
 
 1.3内容提要
 1.集合的定义
 定义1.3.1具有某种特定性质的对象所组成的总体称为集合.通常用大写字母
 
 A,B,C,表示.
 ???
 2.区间
 定义1.3.2设a,b为两个实数,且a<b,称数集{xa<x<b}为开区间,记作(a,b),即(a,b)={xa<x<b}.|
 闭区间：[a,b]={x||a.x.b}.
 半开半闭区间：[a,b)={x|a.x<b};(a,b]={x|a<x.b},其中,a和b称为区间的端点,b.a称为区间的长度.
 无限区间：[a,+∞)={x|a.x};(.∞,b]={x|x.b}.
 特别地,全体实数的集合R也可表示为无限区间(.∞,+∞).
 3.邻域
 定义1.3.3设a与δ是两个实数,且δ>0,满足不等式|x.a|<δ的实数x的全体称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即U(a,δ)={x|a.δ<x<a+δ},其中,点a称为该邻域的中心,δ称为该邻域的半径.
 若把邻域U(a,δ)的中心a去掉,所得到的集合称为点a的去心δ邻域,记作U.(a,δ),即U.(a,δ)={x0<x.a<δ}.
 4.映射的定义|||
 定义1.3.4设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应法则f,使得.x∈X,按法则f,有唯一确定的y∈Y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作
 f:XY,
 →
 其中,y称为元素x在映射f下的象,记作f(x),即y=f(x);x称为元素y在映射f下的一个原象;集合X称为映射f的定义域,记作Df;X中所有元素的象所组成的集合称为映射f的值域,记作Rf或f(X),即Rf=f(X)={f(x)|x∈X}.
 5.函数的定义
 定义1.3.5设数集D.R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常记作
 y=f(x),x∈D,
 其中,x称为自变量,y称为因变量,D称为函数f的定义域,也记作Df.函数的表示法：表格法、图形法、解析法(公式法).
 (1)分段函数.在其定义域的不同范围内具有不同的解析式.
 (2)复合函数.设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=g(x)在D上有定义,且g(D)∩Df=..,则由下式确定的函数
 y=f(g(x)),x∈D2
 第1章极限与连续
 
 称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,其中变量u称为中间变量.
 (3)反函数.设函数y=f(x)的定义域为D,值域为Rf.对.y∈Rf,在定义域D上至少可以确定一个数值x与y对应,且满足关系式
 f(x)=y.
 如果把y作为自变量,x作为函数,则由上述关系可以确定一个新函数,
 x=.(y)(或x=f.1(y))
 这个新函数称为函数y=f(x)的反函数.反函数的定义域为Rf,值域为D.
 习惯上,一般将函数y=f(x),x∈D的反函数记作y=f.1(x),x∈Rf.相对于反函数y=f.1(x),原来的函数y=f(x)称为直接函数.
 6.函数的几何特性
 (1)有界性.设函数f(x)的定义域为D,如果存在正数M,使对.x∈D,有
 |f(x)|.M,
 则称函数f(x)在D上有界,否则称f(x)在D上无界.
 (2)单调性.设函数f(x)在某区间I上有定义,若对.x1,x2∈I,当x1<x2时,恒有
 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),
 则称函数f(x)在区间I上是单调增加函数(单调减少函数).单调增加和单调减少函数统称为单调函数.
 (3)奇偶性.设函数f(x)的定义域D关于原点对称.若.x∈D,恒有
 f(.x)=f(x)(或f(.x)=.f(x)),
 则称f(x)为偶函数(或奇函数).偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称.
 (4)周期性.设函数f(x)的定义域为D.若.l>0,使得.x∈D,有(x±l)∈D,且有
 f(x+l)=f(x)成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.
 3
 
 7.初等函数
 1)基本初等函数幂函数y=xu(u∈R是常数);指数函数y=ax(a>0且a=1);.对数函数y=logxa(a>0且a=1);.三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctany=arccotx.2)初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成并可
 用一个式子表示的函数,称为初等函数.
 8.数列极限定义(“N?ε”语言)
 定义1.3.6设有数列{xn}和常数a,若对.ε>0,总是.N∈N+,使得当n>N时,恒有|xn.a|<ε
 成立.则称常数a是数列{xn}的极限.或称数列{xn}收敛于常数a.记作
 limxn=a或xnn→∞→a(n→∞).
 如果数列{xn}没有极限,就称数列{xn}是发散的.
 9.收敛数列的性质
 (1)唯一性.若数列{xn}收敛,则其极限必唯一.
 
 (2)有界性.若数列{xn}收敛,则其必有界.
 
 (3)保号性.设limxn=a,n→∞.N∈N+,当n>N时,恒有xn>0(或xn<0).
 
 (i)若a>0(或a<0),则
 
 (ii)若.N∈N+,使得当n>N时,xn>0(或xn<0),则a.0(或a.0).
 
 
 
 
 10.函数的极限的定义
 定义1.3.7设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义,若对.ε>0,总是.δ>0,使得当x满足不等式0<|x.x0|<δ时,恒有
 |f(x).A|<ε,
 则称常数A为函数f(x)当x→x0时的极限,记作
 xlimx0f(x)=A或f(x)→A(x→x0)
 →
 4
 
 第1章极限与连续
 左右极限.当x从x0的左侧(右侧)趋向于x0时,函数f(x)的极限称为f(x)在点x0的左(右)极限,分别记作
 lim0f(x)或f(x0.0)(lim+0f(x)或f(x0+0)).
 xx.xx
 →→
 函数极限存在的充要条件xlimx0f(x)=A.xlimf(x)=xlimx+f(x)=A.
 →x.→0
 类似地,有x→∞,x→.∞,x→+∞时,f(x)极→限0的定义.
 11.函数极限的性质
 (1)唯一性.若xlimx0f(x)存在,则其极限唯一.
 (2)局部有界性.→若limf(x)=A,则存在M>0和δ>0,使得当0<x.x0<δ时,有|f(x)|.M.x→x0||
 (3)局部保号性.
 (i)若xlimx0f(x)=A,且A>0(或A<0),则存在常数δ>0,使得当
 →
 0<|x.x0|<δ时,有f(x)>0(或f(x)<0).
 (ii)若xlimx0f(x)=A,且在x0的某去心邻域内f(x).0(或f(x).0),则A.0(或A.0).→
 12.无穷小定义定义1.3.8若xlimx0f(x)=0(或limf(x)=0),则称函数f(x)为xx0(或
 x→∞)时的无穷小.→x→∞→
 函数极限与无穷小的关系xlimx0f(x)=A的充分必要条件是
 →
 f(x)=A+α,
 其中α为x→x0时的无穷小.
 13.无穷大定义定义1.3.9若limf(x)=∞(或limf(x)=∞),则称函数f(x)为xx0(或
 x→∞)时的无穷大.x→x0x→∞→
 无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;非零无穷小的倒数为无穷大.
 14.无穷小的性质
 (1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小;
 
 (2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小;
 
 (3)常数与无穷小的乘积是无穷小;
 
 (4)有限个无穷小的乘积仍是无穷小.5
 
 
 
 15.函数极限的四则运算法则
 设limf(x)=A,limg(x)=B(A,B均为常数),则
 (1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;
 
 (2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB;
 
 
 ???
 f(x)limf(x)A
 (3)若又有B=0,.那么limg(x)=limg(x)=B.
 16.极限存在准则
 准则I(夹逼准则)设在点x0的某一去心邻域U.(x0)内(或|x|>M),恒有
 (1)g(x).f(x).h(x);
 
 (2)limg(x)=limh(x)=A
 
 
 xx0xx0
 →→
 (x→∞)(x→∞)
 
 成立,则极限limf(x)存在,且有limf(x)=A.
 xx
 →x0→x0(x→∞)(x→∞)
 准则II单调有界数列必有极限.
 17.两个重要极限
 (1)limsinx=1.特点是0型极限.
 x00
 1+
 
 x.
 →
 .x
 1
 1
 (2)lim
 =e或lim(1+x)
 =e.特点是1∞型极限.
 x
 x→∞xx→0
 18.无穷小的比较
 设limα=0,limβ=0,且α=0.β.
 (1)若lim
 =0,则称β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α);
 αβ
 αβ
 (2)若lim
 =∞,则称β是比α低阶的无穷小;
 (3)若lim
 =c=.0,则称β与α是同阶无穷小,特别地,当c=1时,即
 α
 limαβ=1,此时称β与α是等价无穷小,记作α~β.等价无穷小代换定理设α,β,α.,β.是同一变化过程中的无穷小,且α~α.,β~β..如果limα.=A,那么β.αα.
 lim=lim=A.
 ββ.
 常用的等价无穷小设α(x)→0,则有
 
 sinα(x)~α(x),tanα(x)~α(x),arcsinα(x)~α(x),arctanα(x)~α(x),1.cosα(x)~α(x)2,ln(1+α(x))~α(x),eα(x).1~α(x),
 2
 aα(x).1~α(x)lna(a>0),(1+α(x))k.1~kα(x)(k=0.且为常数).
 
 6
 第1章极限与连续
 
 19.函数的连续性
 1)定义定义1.3.10设函数f(x)在x0某一邻域内有定义,如果
 limΔy=lim[f(x0+Δx).f(x0)]=0,
 Δx0Δx0
 →→
 那么,就称函数f(x)在点x0连续,x0称为f(x)的连续点.定义1.3.11设函数f(x)在x0某一邻域内有定义,如果
 limf(x)=f(x0),
 x0
 →那么,就称函数f(x)在点x0连续.
 2)单侧连续性
 若limf(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处左连续.
 若lim
 xx.
 →
 0
 f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0
 处右连续.
 +0
 xx
 函数→f(x)在点x0
 连续.f(x)在点x0处既左连续又右连续.
 3)连续函数如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,则称f(x)在区间(a,b)内连续或称f(x)是区间(a,b)内的连续函数,区间(a,b)称为f(x)的连续区间.如果函数f(x)是区间(a,b)内的连续函数,并且在左端点x=a处右连续,即lim
 f(x)=f(a),在右端点x=b处左连续,即limf(x)=f(b),则称f(x)在闭区
 +
 b.
 xa
 x
 间→[a,b]上连续.
 →
 20.函数的间断点
 若函数f(x)在点x0处不连续,则称函数f(x)在点x0处间断,点x0称为f(x)
 
 的间断点或不连续点.间断点的常见类型设x0为f(x)的间断点,
 (1)跳跃间断点.如果当xx0时,f(x)的左、右极限都存在但不相等,即lim是→f(x)的跳跃间断点.
 0
 f(x).=limx.f(x),则称x0
 +0
 xx
 x
 →
 →
 (2)可去间断点.如果当x值f(x0)或函数f(x)在x0
 →x0时,f(x)的左、右极限存在且相等,但不等于函数
 处无定义,则称x0
 是f(x)的可去间断点.
 跳跃间断点和可去间断点的共同特点是函数在点x0处的左、右极限都存在,所以把它们统称为第一类间断点.
 (3)第二类间断点.函数除第一类间断点以外的其他间断点,统称为第二类间断
 点.其特点是在此类间断点处的左、右极限至少有一个不存在.7

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