剩余格与模糊集

     方进明编写的《剩余格与模糊集》从剩余格和格值逻辑的观点，介绍了模糊集理论的基本内容、基本方法以及其与序、剩余格和格值逻辑相互联系的新进展。全书共分8章。前3章介绍序与格的基本内容，包括序与格、伽罗瓦联络与Heyting代数、完全分配格；第4章介绍具有逻辑结构的剩余格；第5章、第6章和第7章介绍模糊集理论，包括模糊集的基本理论、一般论域上的L-等价关系与L-相等关系、扩张原理等；*后一章论述格值逻辑的基本理论。本书的特点是从剩余格和格值逻辑的观点论述了模糊集理论，强调模糊集理论同格上逻辑推理的联系。内容论述简明和快节奏是本书的重要特点。

 

剩余格与模糊集是一部集中研究模糊集理论并能反映多值序结构介入和逻辑推理多值化特点的数学著作。全书共分8章：第1章是序集理论和格理论的基本知识，第2、3、4章主要论述具有较好分配性和逻辑推理背景的各种典型格，第5、6、7章是模糊集理论的核心部分，第8章内容为格值逻辑。
剩余格与模糊集可作高等院校高年级本科生和研究生的教材和参考书，也可供以模糊数学及其应用技术为基础的研究人员和教师参考。

第1 章序与格
无论是通俗意义还是严格的数学意义,序的概念都呈现出平凡中见伟大的特征.平凡表现在其意义容易理解而又时时伴随着人们的思维过程;伟大表现在其被尼古拉布尔巴基(NicolasBourbaki)学派冠名为数学三大母结构(代数结构、拓
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扑结构和序结构)之一.按传统的观点,格是代数学的研究对象.依笔者之见,实际上它更是序的儿女,换句话说,由序出发引入格的概念更易理解.本章从严格的数学意义上介绍序的概念和实例,并以序的观点自然导入格理论.第1章仅介绍序与格的基本理论,写作中参考了著作[3]和[26].格理论中较深入的内容(如伽罗瓦联络、Heyting代数、完全分配格和剩余格等)将在后续几章单独展开.
1.1 序集
设P是论域.当需要考虑论域中对象之间相互比较的问题时,数学中常用的方法是在论域P上赋予一种称之为序结构的二元关系,并把赋予序结构的P称为序集.对这种描述性的序集概念来说,其意义过于宽泛.本书所说的序集(orderedset)是偏序集和预序集的统称,其准确的含义可见如下定义.
定义1.1.1设P是非空集,.是P上的二元关系.若P中任意元x,y,z满足：
(Re)x.x成立(自反性,re.exivity),
(An)(x.y,y.x). x=y成立(反对称性,antisymmetry),
(Tr)(x.y,y.z)x.z成立(传递性,transitivity),则称.是论域P上的. 偏序(partialorder)或偏序结构,序对(P,.)称作是偏序集(partiallyorderedset,或poset).若.作为P上的二元关系仅满足自反性和传递性,则关系.称作是预序(quasi-order)或预序结构,此时序对(P,.)称为预序集..
依传统,偏序和预序统称作序关系,偏序结构和预序结构常别称为序结构.显然,定义1.1.1中x.y是(x,y)∈.的简单记法.一般情况下,x.y和y.x是具有相同意义的不同记法,而x.y和y.x均指(x,y)∈/.的意义.在序结构.的意义特别明确或不需指出时,(P,.)也简记作P.我们用x若P是偏序集,P还满足对任意元x,y∈ P时,均有x.y或y.x,等价地说,P中任意两个元都可以比较,这时也称偏序集P是链(chain),有时又称其为线性序集(linearlyorderedset)或全序集(totallyorderedset).和链形成鲜明对照的概念是反链(antichain).所谓反链是序结构满足下列条件的偏序集：
(Anc).x,y ∈ P , x . y . x=y成立.为了使读者更具体理解偏序结构和预序结构是大量存在的,下面介绍若干偏序集和预序集的实例作为支撑.
例1.1.1若(P,.)是偏序集且S.P,则S关于偏序结构.在S×S上的限制也是偏序集.习惯上,.在S×S上的限制仍记作..实数集R、自然数集N={0, 1, 2, ???} 、整数集Z及有理数集Q关于相应数的自然序关系都是偏序集的例子.事实上,它们都是链.N上还有序关系.使得(N,.)是偏序集而不是链,其中此时序结构.的意义如下：
.m,n ∈ N,m.n当且仅当存在k∈ N使得km=n..
例1.1.2(1)设X是非空集合,幂集记作P(X),即X的子集全体.P(X)关于子集的包含关系. 构成偏序集.
(2) 设X 是非空集合, P = {{x}|x ∈ X}.则(P,.)是一个反链的例子,其中. 是X的子集包含关系在P上的限制.如在X上引入.如下：对任意x,y∈ X, x . y . x=y,则(X,.)是反链的另外例子,其中如此定义的X上的偏序结构常称作是集合X的离散序(discreteorder).事实上,读者已能意识到任何非空集合关于其上的离散序都是反链的例子,正是由于这种理解,读者能部分地感受到序结构意义的广泛性..
例1.1.3设(X,T)是拓扑空间,即X是非空集合,T.P(X)满足：
(T1).,X∈ T ,
(T2)A,B∈ T A∩B ∈ T,.(T3).j ∈ J,Aj ∈ T Aj ∈ T .

.j∈J
满足(T1)、(T2)和(T3)的子集族T称作是X上的一个拓扑(topology).T中的元称作是开集(openset),当(X. D) ∈ T时,称D是闭集.特别地,若X的子
1.1 序集3
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集E既是开集又是闭集,则称E是开闭集(clopenset).记指定拓扑空间中的全体闭集为TC,开闭集全体记作TD.则(T,.)、(TC,.)和(TD,.)都是偏序集,其中. 是X 的子集的包含关系. .
例1.1.4一般地,谓词(predicate)可以描述成一个可判断真假的陈述(state-ment).用集合论语言恰当地说,谓词是非空集合X到二元集{T,F } 的映射.记P(X)为关于集合X的全体谓词,并定义P(X)上序关系“.”如下：
.p,q ∈ P(X),p.q当且仅当{x ∈ X|p(x)=T}.{x ∈ X|q(x)=T},
则(P(X),.)是偏序集.值得指出,谓词是逻辑学和计算机科学中常用的基本概念..
例1.1.5设.是实数集R上具有如下意义的二元关系：
.m,n ∈ R,m.n(m. n) ∈ Z,.
则(R,.)是预序集而非偏序集..
最后,需介绍的是偏序集中元之间的一种特殊关系.设(P,.)是偏序集.若对P中的元x,y,当z∈ P使得x.z???
x=x0???
十分重要. 偏序集中的元之间是否存在覆盖关系的实例如下：
. 设P=N是自然数集,则对任意自然数m,n,m.n 当且仅当n = m + 1.
.设P=R是实数集,则对任意实数x,y∈ R, x.y 都不成立.
.设X是非空集合,P=P(X),则对任意A,B∈ P 而言, A.B 当且仅当存在b ∈ X . A 使得B = A∪{b}.
在偏序集中经常存在各种特殊的元,它们在讨论问题时担任十分重要的角色,详见如下的定义.
定义1.1.2设(P,.)是偏序集,a,b∈ P.若对P中每个元x,都有x.a(对偶地,x.a),则称a是最大元(对偶地,a是最小元).习惯上,最大元和最小元存在时,统一记作. 和⊥,或1和0;若对P中每个元x,总有b.x意味着b=x成立(对偶地,b.x意味着b=x成立),则说b是极大元(对偶地,b是极小元)..
对偏序集而言,最大元和最小元并不总是存在.例如在实数偏序集(R,.)中,两者都不存在;而在自然数偏序集(N,.)中,有最小元⊥ =0,而无最大元.幸运地是,在幂集P(X)中,两者都存在且⊥ = ., . =X.当然,无论两者谁存在必定是唯一的.在偏序集中,极大(小)元也不总是存在,但对有限偏序集,必有极大元和极小元是易证的结论.最大(小)元与极大(小)元是意义不同的概念,在链这种特殊的偏序集中,两类概念取得一致.
利用偏序集上的偏序结构,上(下)界和上(下)确界的概念可自然地引入.
定义1.1.3设(P,.)是偏序集,S.P,且u,l∈ P.若对S中每个元素x,总有x.u(对偶地,x.l)成立,就称u(对偶地,l)是子集S的上界(对偶地,下界)..
对已知偏序集的子集S,其上界或下界未必存在,即使存在也不一定唯一,而且也不必属于S.应该指出,偏序集的子集有一种特殊意义的上界和下界(见如下定义),当它们存在时,必是唯一的.
定义1.1.4设(P,.)是偏序集,S.P且S的上界之集记作Su , 即
Su = {x ∈ P |(.s ∈ S)s.x}. 若Su 中有最小元a,即a满足.x ∈ Su,x.a,则a被称作是S的上确界(leastupperbound,或supremum),记作a=supS,或称作a是S的并,记作a=∨S. 等价地说, 若a ∈ P满足：(sup1)a是S的上界,(sup2).y ∈ Su,a.y成立,则a是S的上确界或S的并..关于上确界,其特征性质可以陈述如下：偏序集P的子集S有上确界当且仅当存在x∈ P 使得
(.y ∈ P ) .((.s ∈ S)s.y)(x.y). ..
成立. 对偶地, 可以引入偏序集P 的子集S 的下确界, 记
Sl = {x ∈ P |(.s ∈ S)s.x} 是S 的下界之集. Sl 的最大元b存在时,b被称作S的下确界(greatestlowerbound,或in.mum),记作b=infS,有时也说b是S的交,记作b=∧S.
1.2 序集之间的运算5
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若S = {a,b} 是偏序集P 的二元子集有上确界和下确界, 则它们分别记作
sup S = a ∨ b和infS=a∧ b.
若S=.时,P中的每个元都是S的上界和下界.因此.作为子集有没有上(下)确界取决于P是否有最小(大)元.若P的最大元和最小元分别是. 和⊥,则sup.=⊥ 且inf.=..
引理1.1.1(关联引理,TheConnectingLemma)设(P,.)是偏序集,a,b∈ P , 且a ∧ b 与a ∨ b 都存在. 则有下列诸条等价：
(1) a = a ∧ b, (2) b = a ∨ b, (3) a . b. .
1.2 序集之间的运算
在研究序集时,有两种从已知的序集合出发构造新的序集的方法.这些方法构成了序集之间的基本运算.

1.2.1 和
本小节在陈述内容时经常假设涉及的序集合互不相交.此处需明确的一点是：假设参与运算的序集互不相交是非本质的.事实上,我们总是可以做出参与运算的序集的同构序集,使得后者互不相交,其中同构序集的概念将在1.3节中介绍.
设P和Q是(互不相交的)偏序集.令R=P∪Q,定义R上的序关系.如下：.x,y ∈ R,x.y当且仅当x,y∈ P且x.y,或x,y∈ Q 且x . y.
一般地,称(R,.)是P与Q的不交和,经常记作P∪?Q=R.有时,从已知的偏序集P与Q出发,也可定义R=P∪Q上的序关系.如下：
.x,y ∈ R,x.y当且仅当x,y∈ P且x.y,或x,y∈ Q 且x . y, 或x ∈ P 且y ∈ Q,
这时,称(R,.)是P与Q的线性和,经常记R=P? Q.
1.2.2 乘积
n
设Pi(i=1,2,,n)是偏序集.令P=.Pi是集合Pi(i=1,2,,n)的有
??????
i=1
限笛卡儿乘积之集, 定义P 上的序关系. 如下：
.(x1,,xn),(y1,,yn)∈P,(x1,,xn).(y1,,yn)当且仅当.i.n,xi.yi.
????????????
序对(P,.)是偏序集,称作是P1,,Pn的乘积偏序集,或乘积,P上新定义的
n
???
序常称作积序.n个偏序集Pi(i=1,2,,n)的乘积偏序集常简记作.Pi,当
???
i=1
P1 = P2 == Pn = P 时, 也记作P n . 两个偏序集P 与Q 的乘积记作P ×Q.
???
1.2.3 对偶偏序集
设P是偏序集,定义新的偏序集P. :=(P,.. ) 如下：P . 的论域与P相同,偏序结构.. 意义如下：
.x,y ∈ P, x .. y 当且仅当y . x 成立.
此时, 称偏序集P . 是P的对偶偏序集,或简称对偶.
一般地,当已知一个仅与偏序集P的偏序结构有关的命题Φ,则总可以得到一个关于P. 上序结构的命题Φ. ,并称命题Φ. 是原命题Φ 的对偶命题.
例如, 设P = {x,y,z,w,a,b} 是论域, 其上的偏序结构如下：
.= .(x,y),(x,z),(x,w),(x,a),(y,w),(y,a),(z,w),(b,w). ∪ ΔP ,
此处ΔP={(t,t)|t ∈ P }.P上的偏序结构.及其对偶.. 可用哈斯(Hasse)图表示为图1.1和图1.2.
图1.1序结构.的图示图1.2序结构.. 的图示关于偏序集(P,.)有真命题Φ:存在唯一元w覆盖三个其他的元.在对偶偏序集(P,.. )中,对偶命题也是真的,具体如下：Φ. : 存在唯一元w 被三个其他元覆盖.