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内容简介

　　本书内容包括质点力学、质点系动力学、刚体力学、非惯性系和惯性力、虚功原理、拉格朗日动力学、哈密顿动力学。每章后附有相关的巩固性习题。本书不仅可以使学生系统、完整、科学地学习理论力学所涉及的基本原理与方法，而且通过适当的力学问题的求解训练，提高学生的综合分析能力。
　　本书可作为高等院校物理类及大气科学类专业的理论力学课程教材，也可供其他相关专业选用。

作者简介

赵德林、张成义

目　　录

前言
绪论
第1章质点力学
1.1 质点运动的描述
1.参照系
2.坐标系
3.质点及其位置的描述
4.质点运动方程及轨道方程
1.2 质点的速度和加速度
1.速度
2.加速度
3.速度、加速度分量表示式
1.3 质点动力学基本定律
1.4 质点运动微分方程的解

前言 
绪论 
第1章 质点力学 
1.1 质点运动的描述 
1.参照系 
2.坐标系 
3.质点及其位置的描述 
4.质点运动方程及轨道方程 
1.2 质点的速度和加速度 
1.速度 
2.加速度 
3.速度、加速度分量表示式 
1.3 质点动力学基本定律 
1.4 质点运动微分方程的解 
1.运动微分方程 
2.运动微分方程的解 
1.5 质点动力学运动定理及守恒定律 
1.动量定理及动量守恒定律 
2.角动量定理及角动量守恒定律 
3.动能定理及机械能守恒定律 
1.6 质点在有心力作用下的运动规律 
1.有心力运动的特点 
2.比耐公式 
3.平方反比的引力作用 
4.开普勒定律 
5.平方反比斥力作用 
6.散射 
习题一 
第2章 质点系动力学 
2.1 质点系动力学基础 
1.质点系内力 
2.质点系的质心 
2.2 质点系动量定理与动量守恒定律 
1.质点系动量定理及质心运动定理 
2.动量守恒定律及质心运动守恒定律 
2.3 质点系角动量定理与角动量守恒定律 
1.质点系的角动量 
2.质点系对固定点o的角动量定理及守恒定律 
3.质点系对质心c的角动量定理及守恒定律 
4.质点系对任意点A的角动量定理 
2.4 质点系动能定理与机械能守恒定律 
1.质点系的动能 
2.质点系对固定点的动能定理、机械能守恒定律 
3.质点系对质心的动能定理 
2.5 两体问题 
两体运动的方程 
2.6 质心坐标系与实验室坐标系 
2.7 变质量物体的运动 
1.变质量问题的重要性 
2.变质量物体的运动微分方程 
3.求解变质量物体运动问题的一般步骤 
4.齐奥尔科夫斯基的两个问题 
*5.变质量物体做曲线运动的解 
习题二 
第3章 刚体力学 
3.1 刚体的自由度与刚体的运动 
1.刚体的自由度 
2.刚体的运动方程 
3.刚体运动的分类 
3.2 力系的简化和刚体的平衡 
1.作用于刚体上的基本力系 
2.力系的简化 
3.刚体的平衡 
3.3 刚体的定轴转动 
1.定轴转动刚体的运动学 
2.转动惯量 
3.刚体定轴转动的运动微分方程 
4.动能定理 
3.4 刚体的平面平行运动 
1.平面平行运动刚体的运动学 
2.平面平行运动刚体的动力学 
3.5 刚体的定点转动 
1.刚体定点转动的运动学 
2.定点转动刚体的角动量和转动动能 
3.刚体的惯量椭球和惯量主轴 
*4.定点转动刚体的欧勒动力学方程 
*5.拉莫尔进动 
习题三 
第4章 非惯性系和惯性力 
4.1 平动参考系 
4.2 转动参考系中质点的运动学 
4.3 转动参考系中质点的动力学方程 
4.4 相对于地球的运动 
1.惯性离心力对重力的影响 
2.相对运动方程 
3.自由落体东偏 
4.地球大气的运动 
5.傅科摆 
习题四 
第5章 虚功原理 
5.1 约束 
1.约束 
2.约束的分类 
3.约束力 
5.2 自由度和广义坐标 
5.3 虚功原理 
1.实位移和虚位移 
2.理想约束 
3.虚功原理 
4.广义坐标形式的虚功原理 
5.主动力全是保守力的情况 
*6.约束力的求解——拉格朗日乘子法 
习题五 
第6章 拉格朗日动力学 
6.1 达朗伯原理 
6.2 拉格朗日方程 
1.基本形式的拉格朗日方程 
2.保守系的拉格朗日方程 
*6.3 拉格朗日方程的第一积分 
1.循环积分(广义动量守恒定律) 
2.能量积分 
3.广义能量积分 
习题六 
*第7章 哈密顿动力学 
7.1 哈密顿正则方程 
1.正则变量 
2.哈密顿正则方程的推导 
3.能量积分和循环积分 
7.2 泊松括号 
1.力学量的时间变化率 
2.泊松括号 
3.雅可比恒等式 
4.量子力学中的泊松括号 
7.3 哈密顿原理 
1.变分法概要 
2.哈密顿原理 
习题七 
参考答案 
参考文献

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第1 章质点力学

§1.1 质点运动的描述

1.参照系

宏观物体的机械运动是绝对的，为了能清晰描述物体的运动规律，必须首先

描述物体在不同时刻的空间位置，但这种描述只能相对地确定，即研究一个物体

的运动必须事先选定另一个物体作为参考，作为参考的物体叫做参照系或参考系。

注意，虽然参考物是有限大小，但参照系应理解为是与参考物相固连的整个无限

大空间。

建立参考系的目的是为了描述物体的运动，并且希望在正确描述的前提下，

描述的手段越简便越好。因此，根据物体的性质不同，对参考系可以有不同的选

第1 章 质 点 力 学 
 
§1.1 质点运动的描述 
 
1.参照系 
 
宏观物体的机械运动是绝对的，为了能清晰描述物体的运动规律，必须首先 
 
描述物体在不同时刻的空间位置，但这种描述只能相对地确定，即研究一个物体 
 
的运动必须事先选定另一个物体作为参考，作为参考的物体叫做参照系或参考系。 
 
注意，虽然参考物是有限大小，但参照系应理解为是与参考物相固连的整个无限 
 
大空间。 
 
建立参考系的目的是为了描述物体的运动，并且希望在正确描述的前提下， 
 
描述的手段越简便越好。因此，根据物体的性质不同，对参考系可以有不同的选 
 
取，以达到能简便地描述出物体运动的目的。例如，在讨论汽车、飞机、轮船的 
 
运动时，一般总是以地球表面为参考系；讨论火箭起飞时，同样以地球作为参考 
 
系较为方便；而当讨论宇宙飞船进入宇宙空间并成了绕日运动的人造天体时，则 
 
以太阳为参考系较为方便。 
 
在运动学中，参考系是可以任意选取的；在动力学中，参考系选取可分为惯性参 
 
考系与非惯性参考系两种类型。在不同类型参考系中，物体的动力学规律有着明显的 
 
差别，我们将在后面章节中分别详细介绍物体在惯性系与非惯性系中的动力学规律。 
 
2.坐标系 
 
为了定量描述被研究物体的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照 
 
系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用数学方式描述物体在空间的相 
 
对位置。在理论力学中常见的坐标系有：直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、 
 
球坐标系、自然坐标系等。 
 
如果坐标系相对于参考系固定不动，称该坐标系与参考系固连。经常令坐标 
 
系与参考系固连，这时可用坐标系来表征参考系。 
 
3.质点及其位置的描述 
 
1） 质点 
 
在实际问题的研究中，往往物体自身的形状和大小与所研究的问题无关或者 
 
所起的作用很小，所以对该物体进行运动研究时，就可以在尺度上将其视为一个 
 
几何点，而不必考虑它的形状和大小，但其拥有质量，且质量全部集中在这个点 
 
上，这种抽象化的理想模型，称为质点。例如，研究行星运动时，虽然行星本身 
 
很大，但它的半径比起它绕太阳运动的轨道半径却小得多，故在这种问题中，就 
 
可以把行星抽象成质点模型。 
 
在所有的情况下，一切物体都可以看做是质点的集合，所以，力学问题的研 
 
究一般都从质点开始。 
 
2） 质点的位置描述 
 
当参考系选定后，我们就可以很方便地描述质点的空间位置。在参考系中选 
 
择某点O 作为参考点，则t 时刻位于空间P 处的质点，可用位置矢量r （即有向线 
 
段OP ）确定质点位置，其中OP 
 
 
 
长度表示质点与参考点间的距离，OP 
 
 
 
方向（由O 点 
 
指向P 点）表明质点相对于参考点的方位。 
 
用位矢r 描述质点的位置比较简洁，但仅有矢量表示还是不够的，我们还必 
 
须对有关物理量进行具体的运算。因此，人们在选定了参考系后，总在参考系中 
 
选定某一点O 为坐标原点而建立一坐标系，进而位矢r 可方便地用一数学表达式 
 
表示，质点的位置也可用坐标表示。在不同坐标系下，位矢r 的表达如下所述。 
 
a.直角坐标系 
 
直角坐标系是一种最常见的坐 
 
标系，也称为笛卡儿直角坐标系。如 
 
图1-1 所示，在参考系上任取一参考 
 
点O 为坐标原点，从O 点顺次引出 
 
三个相互垂直的坐标轴，按右旋关系 
 
的次序分别标以x、y、z 轴，在每 
 
一轴上分别取单位矢量i、j 、k 作 
 
为基矢。 
 
这样，P 点的位矢可表示成： 
 
r=i+yj+zk （1.1.1） 
 
质点P 的坐标为（x,y,z）。 
 
b.平面极坐标系 
 
平面极坐标系是另一种常见的二维坐标 
 
系，如图1-2 所示，在参考系上任取一参考 
 
点O 为坐标原点，从O 点引出一根固定轴作 
 
为极轴，则当质点位于P 点处，其坐标为（r,θ），其中，r 是OP 
 
 
 
的长度，θ 是OP 
 
 
 
的极角。 
 
P 点位矢为 
 
= r 
 
r 
 
r e （1.1.2） 
 
其中r 
 
e 为P 点处的径向单位矢量，大小为1，方向从O 点指向P 点；另在P 点处 
 
取垂直于位矢（θ 增加）方向的单位矢量为横向单位矢量θ 
 
e 。注意，虽然 
 
r 
 
e 、θ 
 
e 的 
 
大小恒等于1，但它们的方向是随着质点的运动而发生变化的，即 
 
（ ） 
 
（ ） 
 
θ 
 
θ 
 
= ?? 
 
? = 
 
r r 
 
θ θ 
 
e e 
 
e e 
 
所以，P 点位矢的确定需要r 和θ 两个变量，即r=r（r,θ）。 
 
c.柱坐标系 
 
对于三维空间问题，可以在平面极 
 
坐标系的基础上加一垂直于平面极坐 
 
标系所在平面的z 轴，构成柱坐标系。 
 
如图1-3 所示，三维运动的质点P，某 
 
一瞬时的位矢r = OP 
 
 
 
= OQ 
 
 
 
+ OA 
 
 
 
，其中 
 
OQ 
 
 
 
为位矢r 在xOy 平面上的投影， 
 
OQ 
 
 
 
ρ = ρe ；OA 
 
 
 
为位矢r 在z 轴上的投 
 
影，OA 
 
 
 
= zk ，故P 点位矢可表示为 
 
=ρ +z 
 
ρ 
 
r e k （1.1.3） 
 
d.球坐标系 
 
球坐标系选择变量为P（r,θ,?），基矢 
 
为r 
 
e 、θ 
 
e 、e 
 
? 
 
，如图1-4 所示。t时刻质 
 
点P 距O 点的距离为r 后，P 就被限制在 
 
一个半径为r 的球面上运动了，进一步给 
 
出P 点在球面上的纬度θ 和经度? ，P 点 
 
位置就完全确定了。规定基矢为： r 
 
e 沿矢 
 
径方向，θ 
 
e 沿P 所在处的经线切线且指向 
 
θ 增加方向，e 
 
? 
 
沿P 所在处的纬线切线 
 
且指向? 增加方向，并且三矢量满足 
 
e e e ，此时，质点P 的位矢为 
 
r = OP 
 
 
 
= r 
 
r 
 
e （1.1.4） 
 
从形式上看，式（1.1.2）与式（1.1.4）表达的矢径是一样的，但是必须注意，式（1.1.2） 
 
是二维形式， r 
 
e 仅是θ 的函数，而式（1.1.4）是在三维情况下的表达式， r 
 
e 、θ 
 
e 、 
 
? 
 
e 
 
是θ 、? 的函数，即 
 
（ , ） 
 
（ , ） 
 
（ , ） ? ? 
 
θ ? 
 
θ ? 
 
θ ? 
 
? = 
 
? 
 
= ?? 
 
? = 
 
r r 
 
θ θ 
 
e e 
 
e e 
 
e e 
 
4.质点运动方程及轨道方程 
 
描述质点任一瞬时在参考空间中位置的数学表达式称为质点的运动方程。 
 
质点的运动方程不仅确定了质点任一瞬时在参考空间中的位置，而且由此方 
 
程可进一步揭示质点运动的轨迹、速度和加速度。所以写出质点的运动方程是质 
 
点运动学所需研究的首要任务。一般常用的方程有如下几种。 
 
1） 矢量形式的运动方程 
 
描述质点运动的矢量形式运动方程为 
 
r=r（t） （1.1.5） 
 
当r（t）随时间t 变化时，其位矢末端恰好给出质点位置随时间的变化规律。此 
 
方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。 
 
2） 直角坐标形式的运动方程 
 
将式（1.1.5）在直角坐标系下分解成分量形式，即 
 
（ ） 
 
（ ） 
 
（ ） 
 
x xt 
 
y yt 
 
z z t 
 
= ?? 
 
= ?? 
 
? = 
 
（1.1.6） 
 
这就是直角坐标系中的质点运动学方程。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但 
 
是运算容易。 
 
在式（1.1.6）中消去时间参数t，即得f（x,y,z） =0，此函数给出了质点在空间 
 
的运动轨迹。 
 
例1.1.1 已知质点的运动学方程为x（t） = acosωt ， y（t） =asinωt，z（t） = 0， 
 
其中a、ω 为常数，求质点的运动轨迹。 
 
解 从所给运动方程中消去参数t，即得 
 
2 2 2 
 
x +y =a 
 
这是一个圆心在坐标原点的圆方程，所以该质点在xOy 平面内是以（0,0）为圆 
 
心，做半径为a的圆轨道运动。 
 
3） 自然坐标形式的运动方程 
 
在已知质点运动轨道的情况下，在轨道上任取一点作原点O，规定沿轨道的 
 
某一方向为自然坐标系的正方向，则质点位置可由原点O 到质点间的一段弧长s 
 
来确定，s 称为弧坐标，质点运动方程在自然坐标系中的运动方程为 
 
s = s（t） （1.1.7） 
 
对运动轨迹已知的质点，常用此方程描述质点的运动。用自然法研究运动， 
 
运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。 
 
4） 极坐标形式的运动方程 
 
质点运动方程在极坐标系中的分量形式为 
 
（ ） 
 
（ ） 
 
r r t 
 
θ θ t 
 
= ?? 
 
? = 
 
（1.1.8） 
 
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。 
 
在式（1.1.8）中消去时间参数t，即得f （r,θ） =0，此式即为质点在极坐标系下 
 
的运动轨迹。 
 
质点在参考空间中的位置还可用其他的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。 
 
通过坐标形式的方程表示质点的运动学方程，并由此继续描述质点的其他运动量 
 
的方法称为分析方法。 
 
§1.2 质点的速度和加速度 
 
1.速度 
 
如图1-5 所示，设质点P在t时刻位于A 处，经Δt 时间，质点由A点沿曲线 
 
运动到B 点，则定义质点P 在Δt 时间内的位移为 
 
2 1 
 
Δr=r ?r （1.2.1） 
 
则t时刻质点位于A 点处的速度可由下式 
 
0 
 
d 
 
lim 
 
Δt→ t dt 
 
Δ 
 
= = 
 
Δ 
 
r r 
 
v 
 
=r= τ 
 
 
 
v （1.2.2） 
 
求出。我们称v 为t 时刻质点的瞬时速度，简称为速度，显然它是一个矢量。某 
 
时刻质点的速度方向沿着该时刻质点所在曲线轨迹的切线并指向运动的一方（即 
 
沿τ 方向），速度的大小叫速率，其表达式为式（1.2.2）。 
 
2.加速度 
 
一般情况下，质点的速度是时间的矢量函数，它的大小和方向都是随着时间 
 
而改变的。为此，我们可以引入加速度这一物理量，用它反映任意时刻速度随时 
 
间的变化率。 
 
在图1.2.1 中，将速度矢量1 
 
v 平移到2 
 
v 处，两矢量起点重合，则由矢量运算 
 
规则可得，Δt 时间内质点的速度增量为2 1 
 
Δv=v ?v。当Δt→0时，我们可由 
 
0 
 
d 
 
lim 
 
Δt→ t dt 
 
Δ 
 
= = = = 
 
Δ 
 
a r 
 
v v 
 
v （1.2.3） 
 
得到t时刻质点的瞬时加速度a，简称加速度，其方向为速度增量Δv的极限方向 
 
（即dv方向），在曲线运动情况下，它一般不沿轨道的切线方向。 
 
3.速度、加速度分量表示式 
 
1） 直角坐标系 
 
将式（1.1.1）代入式（1.2.2）得

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