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本书简要介绍了机械结构分析中的弹性力学基本概念和方法、机械结构强度准则、机械结构动力学基本原理；以平面三角形单元、梁单元为例，详细叙述了有限单元法的基本原理；对单元形函数的构造方法进行了讨论，对等参数单元的基本理论进行了说明，并对常用的三维实体单元、板单元和壳单元分别进行了介绍；*后对机械结构动力学分析的有限元理论进行了简要叙述。书中还给出若干详细算例。
本书可作为机械类高年级本科生和研究生的教材，也可作为工程技术人员的参考书。

内容简介

前言
第1章弹性力学基础理论
1.1 弹性力学的基本概念
1.1.1 弹性力学及其基本假设
1.1.2 外力与内力
1.1.3 应力
1.1.4 应变
1.2 应力状态的描述
1.2.1 应力坐标变换

前言 第1章 弹性力学基础理论 1.1 弹性力学的基本概念 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.2 外力与内力 1.1.3 应力 1.1.4 应变 1.2 应力状态的描述 1.2.1 应力坐标变换 1.2.2 任意截面上的应力分解 1.2.3 主应力及其求解方法 1.3 应力平衡微分方程 1.4 几何方程 1.5 应变状态的描述 1.6 相容性条件 1.7 物理方程 1.7.1 广义胡克定律 1.7.2 线弹性结构的物理方程 1.7.3 用位移表达的平衡微分方程 1.8 边界条件 1.8.1 应力边界条件 1.8.2 位移边界条件 1.8.3 圣维南原理 习题 第2章 弹性力学典型问题及其解法 2.1 平面问题 2.1.1 平面应力问题 2.1.2 平面应变问题 2.2 空间轴对称问题 2.3 板壳问题 2.3.1 板壳问题简介 2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程 2.4 弹性力学问题的一般求解方法 2.4.1 弹性力学问题解法概述 2.4.2 位移法 2.4.3 应力法 2.4.4 用多项式(Airy应力函数)求解平面问题 2.5 弹性力学分析的能量法 2.5.1 能量法的基本原理 2.5.2 瑞利里兹法 2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理 2.6 机械结构的强度失效准则 2.6.1 材料力学实验知识 2.6.2 *主应力准则 2.6.3 *剪应力准则 2.6.4 *变形能准则 2.6.5 *剪应力准则与*变形能准则的对比 习题 第3章 机械结构动力学与振动基本理论 3.1 机械结构动力学的基本概念 3.1.1 动力学系统的自由度 3.1.2 单自由度系统的动力学分析 3.2 多自由度系统 3.2.1 多自由度振动系统的运动方程 3.2.2 固有频率、主振型和方程解耦 3.2.3 多自由度系统的受迫振动 3.2.4 多自由度振动系统分析举例 3.3 连续体系统 3.3.1 杆的自由振动 3.3.2 杆的强迫振动 习题 第4章 平面问题的有限元法 4.1 平面三角形单元的单元刚度矩阵推导 4.2 利用平面三角形单元进行结构整体分析 4.2.1 单元的组集 4.2.2 边界条件的引入 4.3 有限元法的实施步骤 4.4 平面三角形单元举例 习题 第5章 杆单元和梁单元 5.1 杆件结构的有限元分析方法 5.1.1 一维杆单元 5.1.2 平面杆单元 5.1.3 空间杆单元 5.2 平面梁单元 5.2.1 平面悬臂梁的解析分析 5.2.2 平面梁单元的分析与求解 5.2.3 平面梁单元举例 5.3 空间梁单元分析 5.3.1 空间梁单元的节点坐标 5.3.2 空间梁单元的坐标变换 5.3.3 空间梁单元的单元特性 习题 第6章 单元的形函数 6.1 形函数构造的一般原理 6.1.1 常见单元的形函数 6.1.2 位移插值函数的构造方法 6.2 形函数的基本性质 6.3 用面积坐标表达的形函数 6.4 形函数与有限元解的收敛性 6.5 利用单元形函数进行节点载荷等效 6.5.1 单元载荷的移置 6.5.2 结构整体载荷列阵的形成 6.5.3 载荷移置与静力等效关系 6.6 利用形函数原理构造三维实体单元 习题 第7章 等参数单元 7.1 等参元的基本概念 7.2 4节点四边形等参元 7.3 8节点二次四边形等参元 7.4 20节点三维空间等参元 7.5 高斯积分法简介 7.6 等参元举例 习题 第8章 板壳问题的有限元法 8.1 四边形薄板单元 8.1.1 四边形薄板单元的位移模式 8.1.2 四边形薄板单元的单元刚度矩阵 8.1.3 用局部坐标表示的四边形薄板单元 8.2 三角形薄板弯曲单元 8.2.1 三角形薄板单元的位移模式和单元刚度矩阵 8.2.2 用面积坐标表示的三角形薄板单元 8.3 考虑剪切的Mindlin板单元 8.4 壳体弯曲单元 8.4.1 三角形壳体单元 8.4.2 矩形壳体单元 8.4.3 从三维实体退化的壳体单元 8.4.4 轴对称薄壳单元 8.5 板壳单元举例 习题 第9章 机械结构动力学分析的有限元法 9.1 单元动力学方程的建立 9.1.1 位移、速度和加速度矩阵 9.1.2 单元动力学方程的推导 9.1.3 单元质量矩阵和单元阻尼矩阵 9.2 机械结构整体动力学方程的建立 9.3 机械结构固有特性的有限元分析 9.3.1 固有频率和固有振型的定义 9.3.2 固有频率和固有振型的求解方法 9.4 机械结构动力学响应的有限元分析 9.4.1 直接积分法 9.4.2 振型叠加法 9.5 机械结构动力学有限元举例 9.5.1 固有频率求解 9.5.2 动响应求解 习题 参考文献

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作者简介

目　　录

前言
第1章弹性力学基础理论
1.1 弹性力学的基本概念
1.1.1 弹性力学及其基本假设
1.1.2 外力与内力
1.1.3 应力
1.1.4 应变
1.2 应力状态的描述
1.2.1 应力坐标变换
1.2.2 任意截面上的应力分解
1.2.3 主应力及其求解方法
1.3 应力平衡微分方程
1.4 几何方程
1.5 应变状态的描述

前言 第1章 弹性力学基础理论 1.1 弹性力学的基本概念 1.1.1 弹性力学及其基本假设 1.1.2 外力与内力 1.1.3 应力 1.1.4 应变 1.2 应力状态的描述 1.2.1 应力坐标变换 1.2.2 任意截面上的应力分解 1.2.3 主应力及其求解方法 1.3 应力平衡微分方程 1.4 几何方程 1.5 应变状态的描述 1.6 相容性条件 1.7 物理方程 1.7.1 广义胡克定律 1.7.2 线弹性结构的物理方程 1.7.3 用位移表达的平衡微分方程 1.8 边界条件 1.8.1 应力边界条件 1.8.2 位移边界条件 1.8.3 圣维南原理 习题 第2章 弹性力学典型问题及其解法 2.1 平面问题 2.1.1 平面应力问题 2.1.2 平面应变问题 2.2 空间轴对称问题 2.3 板壳问题 2.3.1 板壳问题简介 2.3.2 薄板弯曲问题的基本方程 2.4 弹性力学问题的一般求解方法 2.4.1 弹性力学问题解法概述 2.4.2 位移法 2.4.3 应力法 2.4.4 用多项式（Airy应力函数）求解平面问题 2.5 弹性力学分析的能量法 2.5.1 能量法的基本原理 2.5.2 瑞利一里兹法 2.5.3 弹性力学问题的虚位移原理 2.6 机械结构的强度失效准则 2.6.1 材料力学实验知识 2.6.2 最大主应力准则 2.6.3 最大剪应力准则 2.6.4 最大变形能准则 2.6.5 最大剪应力准则与最大变形能准则的对比 习题 第3章 机械结构动力学与振动基本理论 3.1 机械结构动力学的基本概念 3.1.1 动力学系统的自由度 3.1.2 单自由度系统的动力学分析 3.2 多自由度系统 3.2.1 多自由度振动系统的运动方程 3.2.2 固有频率、主振型和方程解耦 3.2.3 多自由度系统的受迫振动 3.2.4 多自由度振动系统分析举例 3.3 连续体系统 3.3.1 杆的自由振动 3.3.2 杆的强迫振动 习题 第4章 平面问题的有限元法 4.1 平面三角形单元的单元刚度矩阵推导 4.2 利用平面三角形单元进行结构整体分析 4.2.1 单元的组集 4.2.2 边界条件的引入 4.3 有限元法的实施步骤 4.4 平面三角形单元举例 习题 第5章 杆单元和梁单元 5.1 杆件结构的有限元分析方法 5.1.1 一维杆单元 5.1.2 平面杆单元 5.1.3 空间杆单元 5.2 平面梁单元 5.2.1 平面悬臂梁的解析分析 5.2.2 平面梁单元的分析与求解 5.2.3 平面梁单元举例 5.3 空间梁单元分析 5.3.1 空间梁单元的节点坐标 5.3.2 空问梁单元的坐标变换 5.3.3 空间梁单元的单元特性 习题 第6章 单元的形函数 6.1 形函数构造的一般原理 6.1.1 常见单元的形函数 6.1.2 位移插值函数的构造方法 6.2 形函数的基本性质 6.3 用面积坐标表达的形函数 6.4 形函数与有限元解的收敛性 6.5 利用单元形函数进行节点载荷等效 6.5.1 单元载荷的移置 6.5.2 结构整体载荷列阵的形成 6.5.3 载荷移置与静力等效关系 6.6 利用形函数原理构造三维实体单元 习题 第7章 等参数单元 7.1 等参元的基本概念 7.2 4节点四边形等参元 7.3 8节点二次四边形等参元 7.4 20节点三维空间等参元 7.5 高斯积分法简介 7.6 等参元举例 习题 第8章 板壳问题的有限元法 8.1 四边形薄板单元 8.1.1 四边形薄板单元的位移模式 8.1.2 四边形薄板单元的单元刚度矩阵 8.1.3 用局部坐标表示的四边形薄板单元 8.2 三角形薄板弯曲单元 8.2.1 三角形薄板单元的位移模式和单元刚度矩阵 8.2.2 用面积坐标表示的三角形薄板单元 8.3 考虑剪切的Mindlin板单元 8.4 壳体弯曲单元 8.4.1 三角形壳体单元 8.4.2 矩形壳体单元 8.4.3 从三维实体退化的壳体单元 8.4.4 轴对称薄壳单元 8.5 板壳单元举例 习题 第9章 机械结构动力学分析的有限元法 9.1 单元动力学方程的建立 9.1.1 位移、速度和加速度矩阵 9.1.2 单元动力学方程的推导 9.1.3 单元质量矩阵和单元阻尼矩阵 9.2 机械结构整体动力学方程的建立 9.3 机械结构固有特性的有限元分析 9.3.1 固有频率和固有振型的定义 9.3.2 固有频率和固有振型的求解方法 9.4 机械结构动力学响应的有限元分析 9.4.1 直接积分法 9.4.2 振型叠加法 9.5 机械结构动力学有限元举例 9.5.1 固有频率求解 9.5.2 动响应求解 习题 参考文献

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第1章弹性力学基础理论
本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括:线性弹性力学问题的基本假设;应力、应变的定义及其性质;应力平衡微分方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程。这些是进行机械结构有限元分析时的有关弹性力学问题的基础理论。
1.1弹性力学的基本概念
1.1.1弹性力学及其基本假设
弹性力学(elastic theory)是一门基础学科。弹性力学是固体力学（solid mechanics)的一个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领域的结构分析中，都需要应用弹性力学的基本理论。
弹性力学与材料力学（strengths of materials)在研究对象、研究内容和基本任务方面有许多相同之处，但是二者的研究方法有较大差别。材料力学的研究对象主要是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件，分析这类构件在拉压、剪切、弯曲和扭转等典型外载荷作用下的应力和位移。在材料力学中，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，为了简化推导，还引入了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定(如平面截面的假定、拉应力在截面上均匀分布的假定等）。杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，问题求解的基本方程是常微分方程，不存在数学求解的困难。在弹性力学中，对于杆状构件，一般不引用那些假定，所以其解答要比材料力学里得出的解答精确。弹性力学中，除研究杆状构件之外，还研究板、壳、块以及三维实体等结构，分析问题从微分单元体入手，分析单元体的平衡、变形和应力应变关系，综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。弹性力学问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。弹性力学在研究板壳结构等一些复杂问题时，也会引用有关形变状态或应力分布的一些假定来简化其数学推导。在工程实际中，一般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，除少数典型问题外，往往无法直接采用弹性力学的基本方程进行解析求解，很多情况下需要通过数值计算方法来求得其近似解。
通常而言，将弹性力学理论直接用于工程问题分析具有很大的困难，其主要原因在于它的基本方程即偏微分方程，其边值问题求解通常比较困难。由于经典的弹性力学解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个重要任务。弹性力学问题的近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法，为解决工程实际中的弹性力学问题开辟了广阔的前景。

第1章弹性力学基础理论 本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括:线性弹性力学问题的基本假设;应力、应变 的定义及其性质;应力平衡微分方程、几何方程和物理方程等弹性力学基本方程。这些是进行 机械结构有限元分析时的有关弹性力学问题的基础理论。 1.1弹性力学的基本概念 1.1.1弹性力学及其基本假设 弹性力学(elastic theory)是一门基础学科。弹性力学是固体力学（solid mechanics)的一 个分支，其基本任务是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是 说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状 态和位移。在机械、航空、航天、土建和水利等领域的结构分析中，都需要应用弹性力学的 基本理论。 弹性力学与材料力学（strengths of materials)在研究对象、研究内容和基本任务方面有 许多相同之处，但是二者的研究方法有较大差别。材料力学的研究对象主要是杆状构件， 即长度远大于宽度和厚度的构件，分析这类构件在拉压、剪切、弯曲和扭转等典型外载荷作 用下的应力和位移。在材料力学中，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析外，为 了简化推导，还引入了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定(如平面截面的假定、拉 应力在截面上均匀分布的假定等）。杆件横截面的变形可以根据平面假设确定，问题求解 的基本方程是常微分方程，不存在数学求解的困难。在弹性力学中，对于杆状构件，一般不 引用那些假定，所以其解答要比材料力学里得出的解答精确。弹性力学中，除研究杆状构 件之外，还研究板、壳、块以及三维实体等结构，分析问题从微分单元体入手，分析单元体的 平衡、变形和应力应变关系，综合分析的结果是满足一定边界条件的偏微分方程。弹性力 学问题的基本方程是偏微分方程的边值问题。弹性力学在研究板壳结构等一些复杂问题 时，也会引用有关形变状态或应力分布的一些假定来简化其数学推导。在工程实际中，一 般构件的形状、受力状态、边界条件都比较复杂，除少数典型问题外，往往无法直接采用弹 性力学的基本方程进行解析求解，很多情况下需要通过数值计算方法来求得其近似解。 通常而言，将弹性力学理论直接用于工程问题分析具有很大的困难，其主要原因在于它的 基本方程即偏微分方程，其边值问题求解通常比较困难。由于经典的弹性力学解析方法很难 用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个重要任务。弹性力学问题的 近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元 法，为解决工程实际中的弹性力学问题开辟了广阔的前景。 在很多情况下，弹性力学的研究对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关 系。线性弹性力学的基本假设有如下几点。 （１）连续性假定。假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。 尽管一切物体都是由微小粒子组成的，并不能符合这一假定，但是只要粒子的尺寸以及相邻粒 子之间的距离都比物体的尺寸小得多，则对于物体的连续性假定，就不会引起显著的误差。有 了这一假定，物体内的一些物理量(如应力、应变、位移等)才可能是连续的，因而才可能用坐标 的连续函数来表示它们的变化规律。 （２）完全弹性假定。假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。反映这 一比例关系的常数，就是所谓的弹性常数。弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。由 材料力学可知:脆性材料的物体，在应力未超过比例极限前，可以认为是近似的完全弹性体;而 韧性材料的物体，在应力未达到屈服极限前，也可以认为是近似的完全弹性体。这个假定使得 物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载 的历史和加载顺序无关。 （３）均匀性假定。假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的各部分才具有相 同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加 以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由多种材料组成的，但是只要每 一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均 匀的。 (４)各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都是相同的。也就是说，物体的弹性 常数不随方向而变化。对于常见的金属材料，是符合这一假定的。而由木材、竹材等做成的构 件，就不能当做各向同性体来研究。 (5)小位移和小变形假定。假定物体受力以后，物体各点的位移都远远小于物体原来的尺 寸，并且其应变和转角都远小于1。也就是在弹性力学中，为了保证研究的问题限定在线性范 围，需要作出小位移和小变形假定。这样，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的 尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转 角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。对于工程实际中不能满足这一假定的情况，需 要采用其他理论来进行分析求解(如大变形理论等）。 上述假定都是考虑工程应用实际需要和为了研究问题的方便，根据研究对象的性质、结合 求解问题的范围而作出的。这样可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可能。 如前所述，弹性力学问题的求解方法可以按求解方式分为两类，即解析方法和数值算法。 解析方法是通过弹性力学的基本方程和边界条件，用纯数学的方法进行求解。但是，在实际问 题中能够用解析方法进行精确求解的弹性力学问题只是很少一部分。在工程实际中广泛采用 的是数值方法，如有限单元法，并借助计算机软件进行求解。 1.1.2外力与内力 1.外力（load) 作用于物体的外力可分为两类，即面力（surface force)和体力（body force)。面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力（distributed force)和集中力（concentrated force)，如压力 容器所受到的内压、水坝所受的静水压力、物体和物体之间的面接触压力等。面力是物体表面 上各点的位置坐标的函数。 在物体表面犘点处取一微小面积AS，假设其上作用有面力AF，则犘点所受的面力定 义为 可以用各坐标方向上的分量来表示面力，即 体力一般是指分布在物体体积内的外力，它作用于弹性体内每一个体积单元。体力通常 是弹性体内各点位置坐标的函数，如重力、惯性力和磁场力等。作用在物体内犘点所受的体 力可以按如下方式定义，即在犘点处取一微小体积假定其上作用有体力则体力也可以用各坐标方向上的分量来表示，即 ２．内力(internal force) 物体在外力作用下，可以认为其内部存在抵抗变 形的内力。假设用一个经过物体内P点的截面mm将物体分为两部分A和B。当物体在外力作用下处 于平衡状态时，这两部分都应保持平衡。如果假设移 去了其中的B部分，则在截面mm上有力存在，使A 部分保持平衡，该力就称为内力。如图1-1所示，在截 面mm上应该有移去的虚线部分犅对A部分的平衡 起作用的内力。内力是物体内部的相互作用力。 1.1.3应力 物体上一点的应力（stress)就是物体内力在该点处的集度。如图1-1所示，在截面mm上 P点处取一微小面积M，假设作用于M上的内力为AG，则定义犘点处的应力矢量T为应力矢量T可以沿截面M的法线方向和切线方向进行分解，所得到的分量就是正应力 和剪应力r狀。它们满足在物体内的同一个点处，具有不同法线方向的截面上的应力分量(正应力A和剪应力r狀) 是不同的。在表述一点的应力状态时，需要给出物体内的某点坐标，且同时给出过该点截面的 外法向方向，才能确定物体内该点处在此截面上应力的大小和方向。 在弹性力学中，为了描述弹性体内任一点犘的应力状态，还通常采用三维直角坐标系下 的应力分量形式表示。根据连续性假定，弹性体可以看成由无数个微小正方体元素组成。如 图1-2所示，在某点处切取一个微小正方体，该正方体的棱线与坐标轴平行。正方体各面上的 应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都用三个应力分量 来表示。由于物体内各点的内力都是平衡的，正方体相对两面上的应力分量大小相等、方向相 反。这样，用一个包含9个应力分量的矩阵来表示正方体各面上的应力，即 其中，、表示正应力（normal stress)，下角标同时表示作用面和作用方向；t?狔、狕、狓、 t狕t狓、Tzy表示剪应力(shear stress)，下角标第一个字母表示与截面外法线方向相一致的坐标 轴，第二个字母表示剪应力的方向。 应力分量的符号有如下规定:若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致，则该面 上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的 外法线是指向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴 的正方向为负。 正如材料力学中的说明，下节中也将根据应力平衡方程加以证明，图1-2中作用在正方体 各面上的剪应力存在互等关系，即作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应 力是互等的，不仅大小相等，并且正负号也相同，即 这就是所谓的剪应力互等定理。因此，某一个剪应力下标的两个字母是可以对换的。这样，只要用 6个独立的应力分量Gx、、狔、、Ty、Ty、Txx就可以完全描述微小正方体各面上的应力，记为 当上述微小正方体足够小时，作用在正方体各面上的应力分量就可视为犘点的应力分 量。只要已知犘点的这6个应力分量，就可以求得过犘点任何截面上的正应力和剪应力。因 此，上述6个应力分量可以完全确定该点的应力状态。 1.1.4应变 物体在外力作用下，其形状发生改变，变形(defornatmn)指的就是这种物体形状的变化。 不管这种形状的改变多么复杂，对于其中的一个微元体来说，可以认为只包括棱边长度的改变 和各棱边之间夹角的改变两种类型。因此，为了考察物体内某一点处的变形，可在该点处从物 体内截取一单元体，研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况。 对于微分单元体的变形，可以用应变(strain)来表达。分为两方面讨论:第一，棱边长度的 伸长量，即正应变(或线应变，linear strain);第二，两棱边间夹角的改变量(用弧度表示），即剪 应变(shear strain)或角应变。图1-3是对这两种应变的几何描述，表示在变形前后的微元体 在x、y面上的投影，微元体的初始位置和变形后的位置分别由实线和虚线表示。物体变形 时，物体内一点处产生的应变，与该点的相对位移有关。在小应变情况下(位移导数远小于1 的情况），位移分量与应变分量之间的关系(变形几何方程)如下。 在图1-3(a)中，微元体在x方向上有一个I狌狓的伸长量。微元体棱边的相对变化量就是 x方向上的正应变e狓，贝^ 相应地，如图1-3(b)所示y轴方向的正应变 图1-3(c)所示为x-y平面内的剪应变1狔。剪应变定义为微单元体棱边之间夹角的变 化。图中所示的总的角变化量为ft +^2，假设ft和ft都非常小，可以认为ft十ft?tan^1 + tanft。 根据图1-3(c)可知 正向剪应力工狓和r狓分别引起微元体棱边夹角的减小，即把相对初始角度的减小量视为 正向剪应变。 依此类推，e狓、ey、^分别代表一点x、y、轴方向的线应变，、7狕、7狕则分别代表 xy、yz、、z面上的剪应变。与直角应力分量类似，上述6个应变分量称为直角应变分量。这6 个应变分量用矩阵形式表示，即 除了上面的两种应变，还有一种体积应变(volume starin)。体积应变表示弹性体体积的 扩张或收缩，按线弹性理论，体积应变的大小等于三个线应变的和，即 1. 2应力状态的描述 弹性体在外力作用下产生应力场，弹性体内任意一点的应力状态可以用6个应力分量描 述。一点的应力状态与所选定的坐标系有关。以下从应力坐标变换、任意截面的应力分解实 现对一点应力状态的描述，并介绍主应力等概念。 1.2.1应力坐标变换 用一个斜的平面切割一个弹性体，并与三个互相垂直的坐标面相交，就会隔离出一个四面 体单元，如图1-4所示。设狓轴为该斜面的外法线，y和z,轴与该斜平面

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