复变函数

　第0章　绪论
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。16世纪中叶，意大利数学家卡丹在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想，但在很长时间里，人们对复数不能理解，直到17世纪和18世纪，随着微积分的发明和发展，情况才逐渐有了改变，复数的重要性才日益显现出来。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
复变函数论产生于18世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。在这之前，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中就已经得到了这个方程。因此，后来人们提到这两个方程时，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了19世纪，柯西和黎曼在研究流体力学时对上述两个方程作了更详细的研究，所以现在这两个方程也叫做“柯西 黎曼方程”或“柯西一黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在19世纪，就像微积分的直接扩展统治了18世纪的数学那样，复变函数这个新的数学分支统治了19世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且把它称为是世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯。20世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论有着广泛的应用，很多复杂的计算都可用它来解决。如物理学上对很多不同的稳定平面场的计算就是通过复变函数论来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛应用，而且已经深人到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对这些学科的发展很有影响。
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、残数理论、广义解析函数等方面的内容。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
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